Resolva os sistemas lineares abaixo pelos métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel, com epsilon = 0.0005 e chute inicial (0, 0, 0)^T :
{ 5x + 3y + x = 4, x + 7y + 2z = 9, x - 3y + 5z = 8 }

Passo 1

Vamos resolver o sistema linear fornecido utilizando os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. O sistema é:
Primeiro, simplificamos a primeira equação:
Então, o sistema fica:
Matéria e Ferramentas Necessárias:
  • Sistemas Lineares: Conjunto de equações lineares com múltiplas variáveis.
  • Métodos Iterativos: Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel são métodos para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares.
  • Critério de Parada ( ): Define a precisão desejada para a solução.
  • Chute Inicial : Ponto de partida para as iterações.

Passo 2

Reorganizando as Equações:
Para aplicar os métodos iterativos, precisamos isolar cada variável em cada equação.
  1. Primeira Equação:
  2. Segunda Equação:
  3. Terceira Equação:
Fórmulas Iterativas:
  • Gauss-Jacobi:
    Cada variável é atualizada usando os valores da iteração anterior.
  • Gauss-Seidel:
    Cada variável é atualizada imediatamente e usada nas próximas atualizações da mesma iteração.

Passo 3

Inicialização:
  • Chute Inicial:
  • Critério de Parada:
    Continuar as iterações até que a diferença entre os valores das variáveis em iterações consecutivas seja menor que .

Passo 4

Método de Gauss-Jacobi:
Vamos realizar as iterações seguindo as fórmulas do método de Gauss-Jacobi.
  • Iteração 1 ( k = 0):
  • Iteração 2 ( k=1):
  • Verificando o Critério de Parada:
    Calculamos as diferenças:
    Como todas as diferenças são maiores que epsilon, continuamos para a próxima iteração.

Passo 5

Continuação do Método de Gauss-Jacobi:
  • Iteração 3 ( k = 2):
  • Verificando o Critério de Parada:
    Continua para a próxima iteração.

Passo 6

Continuando as Iterações de Gauss-Jacobi:
O processo de iteração continuará até que todas as diferenças entre as variáveis nas iterações consecutivas sejam menores que . Devido à limitação de espaço, apresentamos a conclusão:
Após múltiplas iterações, os valores aproximados convergem para:

Passo 7

Método de Gauss-Seidel:
Agora, aplicamos o método de Gauss-Seidel, atualizando as variáveis imediatamente após o cálculo.
  • Iteração 1 ( k = 0):
  • Verificando o Critério de Parada:
    Como é a primeira iteração, seguimos para a próxima.
  • Iteração 2 ( k=1):
  • Verificando o Critério de Parada:
    Continua para a próxima iteração.

Passo 8

Continuação do Método de Gauss-Seidel:
  • Iteração 3 ( k = 2):
  • Verificando o Critério de Parada:
    Continua para a próxima iteração.

Passo 9

Conclusão das Iterações:
Após várias iterações, tanto os métodos de Gauss-Jacobi quanto de Gauss-Seidel convergem para valores aproximados das variáveis:

Resposta

A solução aproximada do sistema linear é:

Exercícios relacionados