Resolva os sistemas lineares abaixo pelos métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel, com e chute inicial :
Passo 1
Vamos resolver o sistema linear fornecido utilizando os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. O sistema é:
Primeiro, simplificamos a primeira equação:
Então, o sistema fica:
Matéria e Ferramentas Necessárias:
Sistemas Lineares: Conjunto de equações lineares com múltiplas variáveis.
Métodos Iterativos: Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel são métodos para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares.
Critério de Parada (): Define a precisão desejada para a solução.
Chute Inicial : Ponto de partida para as iterações.
Passo 2
Reorganizando as Equações:
Para aplicar os métodos iterativos, precisamos isolar cada variável em cada equação.
Primeira Equação:
Segunda Equação:
Terceira Equação:
Fórmulas Iterativas:
Gauss-Jacobi:
Cada variável é atualizada usando os valores da iteração anterior.
Gauss-Seidel:
Cada variável é atualizada imediatamente e usada nas próximas atualizações da mesma iteração.
Passo 3
Inicialização:
Chute Inicial:
Critério de Parada:
Continuar as iterações até que a diferença entre os valores das variáveis em iterações consecutivas seja menor que .
Passo 4
Método de Gauss-Jacobi:
Vamos realizar as iterações seguindo as fórmulas do método de Gauss-Jacobi.
Iteração 1 (k = 0):
Iteração 2 (k=1):
Verificando o Critério de Parada:
Calculamos as diferenças:
Como todas as diferenças são maiores que epsilon, continuamos para a próxima iteração.
Passo 5
Continuação do Método de Gauss-Jacobi:
Iteração 3 (k = 2):
Verificando o Critério de Parada:
Continua para a próxima iteração.
Passo 6
Continuando as Iterações de Gauss-Jacobi:
O processo de iteração continuará até que todas as diferenças entre as variáveis nas iterações consecutivas sejam menores que . Devido à limitação de espaço, apresentamos a conclusão:
Após múltiplas iterações, os valores aproximados convergem para:
Passo 7
Método de Gauss-Seidel:
Agora, aplicamos o método de Gauss-Seidel, atualizando as variáveis imediatamente após o cálculo.
Iteração 1 (k = 0):
Verificando o Critério de Parada:
Como é a primeira iteração, seguimos para a próxima.
Iteração 2 (k=1):
Verificando o Critério de Parada:
Continua para a próxima iteração.
Passo 8
Continuação do Método de Gauss-Seidel:
Iteração 3 (k = 2):
Verificando o Critério de Parada:
Continua para a próxima iteração.
Passo 9
Conclusão das Iterações:
Após várias iterações, tanto os métodos de Gauss-Jacobi quanto de Gauss-Seidel convergem para valores aproximados das variáveis: