Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a transformada de Fourier de uma função que é a soma da função delta de Dirac, , com . Isso está ligado ao estudo de transformadas de Fourier, que são usadas pra analisar sinais em diferentes frequências. Pra resolver isso, vamos usar a propriedade da linearidade da transformada de Fourier, que permite separar a transformada de uma soma em soma das transformadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Fourier é uma ferramenta matemática que transforma uma função do domínio do tempo para o domínio das frequências. Ela é definida como:
Isso significa que a transformada de Fourier pega a função original e expressa ela em termos de ondas senoidais de diferentes frequências.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a propriedade da linearidade da transformada de Fourier. Essa propriedade diz que:
No nosso caso, temos:
Então, vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 4

Primeiro, a transformada de Fourier da função delta de Dirac, , é uma propriedade fundamental:
Isso porque a delta de Dirac é uma função que “pega” o valor da função no zero, e sua transformada é uma constante em todas as frequências.

Passo 5

Agora, vamos calcular a transformada de Fourier de uma constante, . Sabemos que:
Isso porque uma função constante no tempo corresponde a uma função delta no domínio das frequências, indicando que toda a energia está na frequência zero.

Passo 6

Aplicando isso, temos:
Então, a transformada de Fourier de é .

Resposta

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