Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a transformada de Fourier de uma função que é a soma da função delta de Dirac,
, com
. Isso está ligado ao estudo de transformadas de Fourier, que são usadas pra analisar sinais em diferentes frequências. Pra resolver isso, vamos usar a propriedade da linearidade da transformada de Fourier, que permite separar a transformada de uma soma em soma das transformadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Fourier é uma ferramenta matemática que transforma uma função do domínio do tempo para o domínio das frequências. Ela é definida como:
Isso significa que a transformada de Fourier pega a função original e expressa ela em termos de ondas senoidais de diferentes frequências.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a propriedade da linearidade da transformada de Fourier. Essa propriedade diz que:
No nosso caso, temos:
Então, vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 4
Primeiro, a transformada de Fourier da função delta de Dirac,
, é uma propriedade fundamental:
Isso porque a delta de Dirac é uma função que “pega” o valor da função no zero, e sua transformada é uma constante em todas as frequências.
Passo 5
Agora, vamos calcular a transformada de Fourier de uma constante,
. Sabemos que:
Isso porque uma função constante no tempo corresponde a uma função delta no domínio das frequências, indicando que toda a energia está na frequência zero.
Passo 6
Aplicando isso, temos:
Então, a transformada de Fourier de
é
.
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule
, em que
é a fronteira do triangulo de vértices
,
e
, orientada no sentido anti-horário.
Utilizando o teorema de Green, transforme a integral de linha
numa integral dupla e calcule, em que
.
Calcule a transformada da função
onde
, diretamente pela definição. Verifique que a expressão que você obteve coincide com a que foi deduzida nas notas de aula.
Qual é o resultado da convolução da função
consigo mesma?
Sugestão: Utilize a transformada de Fourier.
Sugestão: Utilize a transformada de Fourier.