Utilizando o teorema de Green, transforme a integral de linha oint(x^4-y^3) d x+(x^3+ y^5) d y numa integral dupla e calcule, em que gamma(t)=(cos t, sin t), 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teorema de Green para transformar uma integral de linha em uma integral dupla e depois calcular o resultado. Basicamente, vamos passar de integrar ao longo de um caminho fechado para integrar sobre a área que esse caminho delimita. Para isso, vamos precisar conhecer as fórmulas do Teorema de Green e saber como aplicar elas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. A fórmula geral do Teorema de Green é:
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Onde:
  • é a curva fechada,
  • é a região dentro de ,
  • e são funções que dependem de e .
No nosso caso, temos e .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Precisamos encontrar partial Qpartial x = 3x^2 e partial Ppartial y = -3y^2 .
Primeiro, para :
Segundo, para :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA = integral duplaD ( 3x^2 - (-3y^2) ) dA = integral duplaD (3x^2 + 3y^2) dA
Podemos fatorar o 3:
3 integral duplaD (x^2 + y^2) dA

Passo 5

Agora, vamos identificar a região sobre a qual vamos integrar. A curva para descreve um círculo unitário no plano . Então, é o disco de raio 1 centrado na origem.
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde e . Nessa mudança, o elemento de área vira .

Passo 6

Substituindo 3 integral duplaD r^2 cdot r,dr,dtheta = 3 integral0^2pi integral0^1 r^3,dr,dtheta por na integral dupla, temos:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a integral0^1 r^3,dr = [ r^44 ]0^1 = 14 - 0 = 14 :
3 times 14 integral0^2pi dtheta = 34 times (2pi - 0) = 34 times 2pi = 3pi2
Agora, multiplicamos pelo 3 e integramos em relação a :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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