Utilizando o teorema de Green, transforme a integral de linha
numa integral dupla e calcule, em que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teorema de Green para transformar uma integral de linha em uma integral dupla e depois calcular o resultado. Basicamente, vamos passar de integrar ao longo de um caminho fechado para integrar sobre a área que esse caminho delimita. Para isso, vamos precisar conhecer as fórmulas do Teorema de Green e saber como aplicar elas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. A fórmula geral do Teorema de Green é:
Onde:
-
é a curva fechada, -
é a região dentro de , -
e são funções que dependem de e .
No nosso caso, temos
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Precisamos encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Segundo, para
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
Podemos fatorar o 3:
Passo 5
Agora, vamos identificar a região
sobre a qual vamos integrar. A curva
para
descreve um círculo unitário no plano
. Então,
é o disco de raio 1 centrado na origem.
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. Nessa mudança, o elemento de área
vira
.
Passo 6
Substituindo
por
na integral dupla, temos:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a
:
Agora, multiplicamos pelo 3 e integramos em relação a
:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Verifique se o campo vetorial dado é conservativo. Justifique.
Utilize a integral dupla para determinar a área da região. A região limitada por ambos os cardioides
Calcule
, em que
é a fronteira do triangulo de vértices
,
e
, orientada no sentido anti-horário.
Calcule
.