Utilizando o teorema de Green, transforme a integral de linha numa integral dupla e calcule, em que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teorema de Green para transformar uma integral de linha em uma integral dupla e depois calcular o resultado. Basicamente, vamos passar de integrar ao longo de um caminho fechado para integrar sobre a área que esse caminho delimita. Para isso, vamos precisar conhecer as fórmulas do Teorema de Green e saber como aplicar elas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. A fórmula geral do Teorema de Green é:
Onde:
  • é a curva fechada,
  • é a região dentro de ,
  • e são funções que dependem de e .
No nosso caso, temos e .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Precisamos encontrar e .
Primeiro, para :
Segundo, para :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
Podemos fatorar o 3:

Passo 5

Agora, vamos identificar a região sobre a qual vamos integrar. A curva para descreve um círculo unitário no plano . Então, é o disco de raio 1 centrado na origem.
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde e . Nessa mudança, o elemento de área vira .

Passo 6

Substituindo por na integral dupla, temos:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :
Agora, multiplicamos pelo 3 e integramos em relação a :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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Verifique se o campo vetorial dado é conservativo. Justifique.
Utilize a integral dupla para determinar a área da região. A região limitada por ambos os cardioides
Calcule , em que é a fronteira do triangulo de vértices , e , orientada no sentido anti-horário.
Calcule .