Calcule , em que é a fronteira do triangulo de vértices , e , orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha , onde é a fronteira de um triângulo com vértices em , e , orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a converter integrais de linha em integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na integral de linha:
O Teorema de Green nos diz que:
Onde é a região interior ao triângulo.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:

Passo 4

Agora, precisamos descrever a região , que é o triângulo com vértices em , e . Vamos encontrar os limites de integração.
Primeiro, observando os pontos, podemos ver que para variando de a . Para cada , varia de uma linha que vai de a até a linha que vai de a .
As equações das retas são:
  1. De a :
  2. De a :
Portanto, para cada entre e , varia de até .

Passo 5

Vamos configurar a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a :
Calculando as integrais:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Vamos separar as integrais:
Calculando cada uma:
Aplicando os limites de a :
Simplificando:
Combinando os termos semelhantes:

Resposta

Exercícios relacionados

Utilizando o teorema de Green, transforme a integral de linha numa integral dupla e calcule, em que .
Verifique se o campo vetorial dado é conservativo. Justifique.
Calcule .
Calcule a transformada da função onde , diretamente pela definição. Verifique que a expressão que você obteve coincide com a que foi deduzida nas notas de aula.