Calcule integralgamma(x-y) d x+e^x+v d y, em que gamma é a fronteira do triangulo de vértices (0,0), (1,2) e (0,1), orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha integralgamma(x - y) dx + e^x+ y dy, onde gamma é a fronteira de um triângulo com vértices em (0,0), (1,2) e (0,1), orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a converter integrais de linha em integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções P(x,y) e Q(x,y) na integral de linha:
P(x,y) = x - y e Q(x,y) = e^x + y
O Teorema de Green nos diz que:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Onde D é a região interior ao triângulo.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x ( e^x + y ) = e^x + y
partial Ppartial y = partialpartial y ( x - y ) = -1
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
integral duplaD ( e^x + y - (-1) ) dA = integral duplaD ( e^x + y + 1 ) dA

Passo 4

Agora, precisamos descrever a região D, que é o triângulo com vértices em (0,0), (1,2) e (0,1). Vamos encontrar os limites de integração.
Primeiro, observando os pontos, podemos ver que para x variando de 0 a 1. Para cada x, y varia de uma linha que vai de (0,0) a (1,2) até a linha que vai de (0,1) a (1,2).
As equações das retas são:
  1. De (0,0) a (1,2): y = 2x
  2. De (0,1) a (1,2): y = x + 1
Portanto, para cada x entre 0 e 1, y varia de 2x até x + 1.

Passo 5

Vamos configurar a integral dupla:
integral duplaD ( e^x + y + 1 ) dA = integralx=0^1 integraly=2x^x + 1 ( e^x + y + 1 ) dy , dx
Primeiro, integramos em relação a y:
integral2x^x + 1 ( e^x + y + 1 ) dy = e^x integral2x^x + 1 e^y dy + integral2x^x + 1 1 , dy
Calculando as integrais:
e^x [ e^y ]2x^x + 1 + [ y ]2x^x + 1 = e^x ( e^x + 1 - e^2x ) + ( (x + 1) - 2x ) = e^2x +1 - e^3x + (1 - x)

Passo 6

Agora, integramos em relação a x:
integral0^1 ( e^2x +1 - e^3x + 1 - x ) dx
Vamos separar as integrais:
integral0^1 e^2x +1 dx - integral0^1 e^3x dx + integral0^1 1 , dx - integral0^1 x , dx
Calculando cada uma:
  1. integral e^2x +1 dx = 12 e^2x +1
  2. integral e^3x dx = 13 e^3x
  3. integral 1 , dx = x
  4. integral x , dx = 12 x^2
Aplicando os limites de 0 a 1:
12 ( e^3 - e^1 ) - 13 ( e^3 - e^0 ) + (1 - 0) - ( 12 - 0 )
Simplificando:
12 e^3 - 12 e + ( -13 e^3 + 13 ) + 1 - 12
Combinando os termos semelhantes:
( 12 - 13 ) e^3 - 12 e + ( 13 + 1 - 12 ) = 16 e^3 - 12 e + 56

Resposta

16 e^3 - 12 e + 56

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