Calcule
, em que
é a fronteira do triangulo de vértices
,
e
, orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha
, onde
é a fronteira de um triângulo com vértices em
,
e
, orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a converter integrais de linha em integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na integral de linha:
O Teorema de Green nos diz que:
Onde
é a região interior ao triângulo.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Passo 4
Agora, precisamos descrever a região
, que é o triângulo com vértices em
,
e
. Vamos encontrar os limites de integração.
Primeiro, observando os pontos, podemos ver que para
variando de
a
. Para cada
,
varia de uma linha que vai de
a
até a linha que vai de
a
.
As equações das retas são:
- De
a : - De
a :
Portanto, para cada
entre
e
,
varia de
até
.
Passo 5
Vamos configurar a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a
:
Calculando as integrais:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Vamos separar as integrais:
Calculando cada uma:
Aplicando os limites de
a
:
Simplificando:
Combinando os termos semelhantes:
Resposta
Exercícios relacionados
Utilizando o teorema de Green, transforme a integral de linha
numa integral dupla e calcule, em que
.
Verifique se o campo vetorial dado é conservativo. Justifique.
Calcule
.
Calcule a transformada da função
onde
, diretamente pela definição. Verifique que a expressão que você obteve coincide com a que foi deduzida nas notas de aula.