Calcule as integrais de linha:
de F(x, y) = (-y, x) / (9 x^2 + 4 y^2) sobre a elipse 9 x^2 + 4 y^2 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo da elipse definida por . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre integrais de linha, campos vetoriais e talvez usar o Teorema de Green para simplificar a coisa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o campo vetorial . Ele é dado por . Esse tipo de campo lembra um campo rotacional, onde as componentes estão relacionadas de forma circular.

Passo 3

Agora, vamos verificar se esse campo é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se a sua integral de linha ao longo de qualquer caminho fechado for zero. Para isso, vamos calcular o rotacional (ou seja, a diferença das derivadas parciais das componentes do campo).

Passo 4

Calculando o rotacional de :
onde e .

Passo 5

Vamos derivar em relação a :

Passo 6

Agora, derivamos em relação a :

Passo 7

Subtraindo as duas derivadas:
Isso mostra que o rotacional de é zero.

Passo 8

Como o rotacional de é zero, o campo é conservativo. Segundo o Teorema de Green, para campos conservativos, a integral de linha ao longo de um caminho fechado (como a elipse dada) é igual a zero.

Resposta

A integral de linha do campo sobre a elipse é igual a 0.

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