Calcule as integrais de linha:
de
sobre a elipse
.
de
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral de linha do campo vetorial
ao longo da elipse definida por
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre integrais de linha, campos vetoriais e talvez usar o Teorema de Green para simplificar a coisa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o campo vetorial
. Ele é dado por
. Esse tipo de campo lembra um campo rotacional, onde as componentes estão relacionadas de forma circular.
Passo 3
Agora, vamos verificar se esse campo é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se a sua integral de linha ao longo de qualquer caminho fechado for zero. Para isso, vamos calcular o rotacional (ou seja, a diferença das derivadas parciais das componentes do campo).
Passo 4
Calculando o rotacional de
:
onde
e
.
Passo 5
Vamos derivar
em relação a
:
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
:
Passo 7
Subtraindo as duas derivadas:
Isso mostra que o rotacional de
é zero.
Passo 8
Como o rotacional de
é zero, o campo é conservativo. Segundo o Teorema de Green, para campos conservativos, a integral de linha ao longo de um caminho fechado (como a elipse dada) é igual a zero.
Resposta
A integral de linha do campo
sobre a elipse
é igual a 0.