Calcule as integrais de linha.
, sendo
sobre o arco de vértices
contido no semiplano superior do plano
, orientada no sentido de
até
.
Passo 1
Vamos resolver a integral de linha dada:
, onde
é o arco no semiplano superior ligando os pontos
a
. O conteúdo envolvido aqui é cálculo vetorial, especificamente integrais de linha sobre campos vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender se o campo é conservativo ou usar o teorema de Green.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Isso acontece quando as derivadas parciais cruzadas são iguais, ou seja:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, o campo
não é conservativo.
Passo 4
Como o campo não é conservativo, vamos aplicar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada pela curva. O teorema de Green é dado por:
onde
e
.
Passo 5
Vamos calcular
:
Portanto:
Passo 6
A integral dupla se simplifica para:
Onde
é a região semicircular no semiplano superior entre
e
.
Passo 7
A área de um semicírculo de raio 1 é:
Portanto:
Resposta
A integral de linha vale
.