Calcule as integrais de linha.
ointgamma(x^2 y^3+5) i+(x^3 y^2+2 x) j d gamma, sendo gamma sobre o arco de vértices (1,0),(-1,0) contido no semiplano superior do plano x y, orientada no sentido de (1,0) até (-1,0).

Passo 1

Vamos resolver a integral de linha dada: , onde é o arco no semiplano superior ligando os pontos a . O conteúdo envolvido aqui é cálculo vetorial, especificamente integrais de linha sobre campos vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender se o campo é conservativo ou usar o teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial partial F1partial y = partial F2partial x é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial tal que . Isso acontece quando as derivadas parciais cruzadas são iguais, ou seja:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial F1partial y = partialpartial y(x^2 y^3 + 5) = 3x^2 y^2
partial F2partial x = partialpartial x(x^3 y^2 + 2x) = 3x^2 y^2 + 2
Como , o campo não é conservativo.

Passo 4

Como o campo não é conservativo, vamos aplicar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada pela curva. O teorema de Green é dado por:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
onde e .

Passo 5

Vamos calcular partial Qpartial x = 3x^2 y^2 + 2 :
partial Ppartial y = 3x^2 y^2
partial Qpartial x - partial Ppartial y = (3x^2 y^2 + 2) - 3x^2 y^2 = 2
Portanto:

Passo 6

A integral dupla se simplifica para:
integral duplaD 2 , dA = 2 cdot Área(D) Á
Onde é a região semicircular no semiplano superior entre e .

Passo 7

A área de um semicírculo de raio 1 é:
Área(D) = 12 pi r^2 = 12 pi (1)^2 = pi2 Á
Portanto:
integral duplaD 2 , dA = 2 cdot pi2 = pi

Resposta

A integral de linha vale .

Exercícios relacionados