Calcule o fio delgado, descrito pela curva com .
b) Calcule o momento de inércia e o centro de massa, considerando que o fio seja homogêneo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o momento de inércia e o centro de massa de um fio fino descrito pela curva no intervalo . Vamos usar conceitos de cálculo integral e física para encontrar essas quantidades, considerando que o fio é homogêneo, ou seja, tem densidade de massa constante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o centro de massa. O centro de massa é o ponto que representa o “peso médio” da distribuição de massa do objeto. Para calcular as coordenadas do centro de massa , usamos as seguintes fórmulas:
onde é o comprimento total do fio e é um elemento infinitesimal de comprimento ao longo do fio.

Passo 3

Vamos calcular . Para uma curva parametrizada por , temos:
Dada a curva , vamos encontrar as derivadas:
Então,
Simplificando usando :

Passo 4

Agora, calculamos o comprimento total :

Passo 5

Vamos calcular :
Simplificando:

Passo 6

Agora, :

Passo 7

Finalmente, :

Passo 8

Agora, vamos ao momento de inércia. Para um fio homogêneo, o momento de inércia em relação à origem é dado por:
onde é a distância do ponto ao eixo de rotação. Como o fio está no espaço tridimensional, consideraremos o momento de inércia em relação aos eixos , e .
Como a densidade é constante, podemos considerar a densidade linear como , onde é a massa total.
Vamos calcular, por exemplo, o momento de inércia em relação ao eixo :
Substituindo :
De forma semelhante, podemos calcular os momentos de inércia em relação aos eixos e .

Resposta

As coordenadas do centro de massa são e o momento de inércia em relação ao eixo é .

Exercícios relacionados

8
Pesquise sobre as fórmulas de centro de massa, , de um sólido e as use para calcular o centro de massa do paralelepípedo cuja função densidade de massa no ponto é a soma das coordenadas do ponto.
Considere o sólido compreendido entre o paraboloide e o plano . Escreva o sólido na forma e e calcule a integral tripla de sobre .
Considere o campo vetorial e a curva .
a) Calcule a área da região delimitada pela curva .
Considere o conjunto e .
a) Escreva em coordenadas cilíndricas.