Calcule o fio delgado, descrito pela curva com .
b) Calcule o momento de inércia e o centro de massa, considerando que o fio seja homogêneo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o momento de inércia e o centro de massa de um fio fino descrito pela curva no intervalo . Vamos usar conceitos de cálculo integral e física para encontrar essas quantidades, considerando que o fio é homogêneo, ou seja, tem densidade de massa constante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o centro de massa. O centro de massa é o ponto que representa o “peso médio” da distribuição de massa do objeto. Para calcular as coordenadas do centro de massa , usamos as seguintes fórmulas:
onde é o comprimento total do fio e é um elemento infinitesimal de comprimento ao longo do fio.
Passo 3
Vamos calcular . Para uma curva parametrizada por , temos:
Dada a curva , vamos encontrar as derivadas:
Então,
Simplificando usando :
Passo 4
Agora, calculamos o comprimento total :
Passo 5
Vamos calcular :
Simplificando:
Passo 6
Agora, :
Passo 7
Finalmente, :
Passo 8
Agora, vamos ao momento de inércia. Para um fio homogêneo, o momento de inércia em relação à origem é dado por:
onde é a distância do ponto ao eixo de rotação. Como o fio está no espaço tridimensional, consideraremos o momento de inércia em relação aos eixos , e .
Como a densidade é constante, podemos considerar a densidade linear como , onde é a massa total.
Vamos calcular, por exemplo, o momento de inércia em relação ao eixo :
Substituindo :
De forma semelhante, podemos calcular os momentos de inércia em relação aos eixos e .
Resposta
As coordenadas do centro de massa são e o momento de inércia em relação ao eixo é .