Considere o campo vetorial F(x, y) = (x / raiz(x^2 + y^2) + y) * i + (y / raiz(x^2 + y^2) + 3 * x) * j e a curva γ(t) = (cos^3(t), sen^3(t)), t ∈ [0, 2pi].
a) Calcule a área da região delimitada pela curva gamma.

Passo 1

Beleza! O enunciado pede para a gente calcular a área da região delimitada pela curva , onde varia de t a 0. Vamos usar conceitos de cálculo integral aplicados a curvas paramétricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que para curvas parametrizadas por t, a área A da região fechada pode ser calculada pela fórmula:
Isso significa que vamos integrar ao longo da curva os termos e .

Passo 3

Vamos identificar x(t) e y(t) da nossa curva gamma(t):
Agora, precisamos calcular as derivadas de e x em relação a y:

Passo 4

Substituindo x(t), y(t), e na fórmula da área, temos:
Simplificando os termos:
Como , a integral fica:

Passo 5

Para simplificar a integral, usamos a identidade trigonométrica:
Então, substituindo na integral:

Passo 6

Para integrar , usamos outra identidade trigonométrica:
Aplicando isso:

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
Porque a integral de sobre um múltiplo inteiro de seu período completo é zero.
Então:

Resposta

A área da região delimitada pela curva gamma é unidades de área.

Exercícios relacionados