Considere o campo vetorial
e a curva
.
a) Calcule a área da região delimitada pela curva
.
a) Calcule a área da região delimitada pela curva
Passo 1
Beleza! O enunciado pede para a gente calcular a área da região delimitada pela curva , onde
varia de
a
. Vamos usar conceitos de cálculo integral aplicados a curvas paramétricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que para curvas parametrizadas por
, a área
da região fechada pode ser calculada pela fórmula:
Isso significa que vamos integrar ao longo da curva os termos
e
.
Passo 3
Vamos identificar
e
da nossa curva
:
Agora, precisamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
,
,
e
na fórmula da área, temos:
Simplificando os termos:
Como , a integral fica:
Passo 5
Para simplificar a integral, usamos a identidade trigonométrica:
Então, substituindo na integral:
Passo 6
Para integrar , usamos outra identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Passo 7
Agora, integramos termo a termo:
Porque a integral de
sobre um múltiplo inteiro de seu período completo é zero.
Então:
Resposta
A área da região delimitada pela curva
é
unidades de área.