Considere o campo vetorial e a curva .
a) Calcule a área da região delimitada pela curva .

Passo 1

Beleza! O enunciado pede para a gente calcular a área da região delimitada pela curva , onde varia de a . Vamos usar conceitos de cálculo integral aplicados a curvas paramétricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que para curvas parametrizadas por , a área da região fechada pode ser calculada pela fórmula:
Isso significa que vamos integrar ao longo da curva os termos e .

Passo 3

Vamos identificar e da nossa curva :
Agora, precisamos calcular as derivadas de e em relação a :

Passo 4

Substituindo , , e na fórmula da área, temos:
Simplificando os termos:
Como , a integral fica:

Passo 5

Para simplificar a integral, usamos a identidade trigonométrica:
Então, substituindo na integral:

Passo 6

Para integrar , usamos outra identidade trigonométrica:
Aplicando isso:

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
Porque a integral de sobre um múltiplo inteiro de seu período completo é zero.
Então:

Resposta

A área da região delimitada pela curva é unidades de área.

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