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Pesquise sobre as fórmulas de centro de massa,
, de um sólido e as use para calcular o centro de massa do paralelepípedo
cuja função densidade de massa no ponto
é a soma das coordenadas do ponto.
Pesquise sobre as fórmulas de centro de massa,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente calcular o centro de massa de um paralelepípedo definido pelo conjunto
. A função densidade de massa nesse caso é a soma das coordenadas do ponto
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar as fórmulas do centro de massa para sólidos, que envolvem integrais triplais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa
de um sólido é dado pelas seguintes fórmulas:
Essas fórmulas vão nos ajudar a encontrar as coordenadas do centro de massa, considerando a distribuição de massa dada pela função densidade.
Passo 3
Vamos calcular o denominador comum primeiro, que é a massa total
do paralelepípedo:
Vamos integrar termo a termo:
Calculando cada integral:
Agora, multiplicando pelos intervalos das outras variáveis que vão de 0 a 1:
Passo 4
Agora vamos calcular o numerador para
:
Distribuindo o
dentro da integral:
Integrando termo a termo:
Agora, integrando em
e
:
Integrando em
:
Agora, integrando em
:
Então, o numerador para
é
.
Passo 5
Usando a mesma lógica, vamos calcular os numeradores para
e
.
Para
:
Distribuindo o
:
Integrando termo a termo:
Integrando em
:
Integrando em
:
Para
, o processo é idêntico ao de
, resultando também em
.
Resposta
Então, o centro de massa do paralelepípedo é dado por: