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Pesquise sobre as fórmulas de centro de massa, (xc, yc, zc), de um sólido e as use para calcular o centro de massa do paralelepípedo B = [0,1] x [0,1] x [0,1] cuja função densidade de massa no ponto (x, y, z) é a soma das coordenadas do ponto.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente calcular o centro de massa de um paralelepípedo definido pelo conjunto . A função densidade de massa nesse caso é a soma das coordenadas do ponto (x, y, z), ou seja, . Para resolver isso, vamos usar as fórmulas do centro de massa para sólidos, que envolvem integrais triplais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa de um sólido é dado pelas seguintes fórmulas:
Essas fórmulas vão nos ajudar a encontrar as coordenadas do centro de massa, considerando a distribuição de massa dada pela função densidade.

Passo 3

Vamos calcular o denominador comum primeiro, que é a massa total M do paralelepípedo:
Vamos integrar termo a termo:
Calculando cada integral:
Agora, multiplicando pelos intervalos das outras variáveis que vão de 0 a 1:

Passo 4

Agora vamos calcular o numerador para :
Distribuindo o x dentro da integral:
Integrando termo a termo:
Agora, integrando em y e z:
Integrando em y:
Agora, integrando em z:
Então, o numerador para é 5/6.

Passo 5

Usando a mesma lógica, vamos calcular os numeradores para e .
Para :
Distribuindo o y:
Integrando termo a termo:
Integrando em y:
Integrando em z:
Para , o processo é idêntico ao de , resultando também em 5/6.

Resposta

Então, o centro de massa do paralelepípedo é dado por:

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