Considere o conjunto B: x^2 + y^2 <= 9 e 0 <= z <= x + y.
a) Escreva B em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para converter o conjunto , definido por e , para coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos usar os conceitos de coordenadas cilíndricas e fazer as devidas conversões.

Passo 2

Primeiro, lembre que nas coordenadas cilíndricas, as coordenadas são representadas por , onde:
  • é a distância do ponto à origem no plano ,
  • é o ângulo em relação ao eixo ,
  • permanece igual em ambas as coordenadas.

Passo 3

A primeira parte da definição de é . Sabemos que em coordenadas cilíndricas. Então, essa desigualdade vira:
Assim, varia de 0 a 3.

Passo 4

A segunda parte é . Precisamos expressar em coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
Então:
Portanto, a desigualdade para fica:

Passo 5

Finalmente, combinando todas as partes, temos que varia em todo o círculo completo, ou seja:
Então, o conjunto em coordenadas cilíndricas é definido por:

Resposta

Em coordenadas cilíndricas, o conjunto é dado por:

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