Considere o conjunto e .
a) Escreva em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para converter o conjunto , definido por e , para coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos usar os conceitos de coordenadas cilíndricas e fazer as devidas conversões.

Passo 2

Primeiro, lembre que nas coordenadas cilíndricas, as coordenadas são representadas por , onde:
  • é a distância do ponto à origem no plano ,
  • é o ângulo em relação ao eixo ,
  • permanece igual em ambas as coordenadas.

Passo 3

A primeira parte da definição de é . Sabemos que em coordenadas cilíndricas. Então, essa desigualdade vira:
Assim, varia de 0 a 3.

Passo 4

A segunda parte é . Precisamos expressar em coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
Então:
Portanto, a desigualdade para fica:

Passo 5

Finalmente, combinando todas as partes, temos que varia em todo o círculo completo, ou seja:
Então, o conjunto em coordenadas cilíndricas é definido por:

Resposta

Em coordenadas cilíndricas, o conjunto é dado por:

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Considere o campo vetorial e a curva .
a) Calcule a área da região delimitada pela curva .
Calcule o fio delgado, descrito pela curva com .
b) Calcule o momento de inércia e o centro de massa, considerando que o fio seja homogêneo.
Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças de ao deslocar um corpo sobre o quadrilátero de vértices e , orientado no sentido anti-horário.
Considere e como nas hipóteses do Teorema de Green.
a) Prove que .