Calcule o fluxo de u através de S na direção de n para u = x^2 i + y^2 j + z^2 k e S = x^2 + y^2 + z^2 = 2az, com n a normal exterior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o fluxo do vetor através da superfície definida por , onde é a normal exterior. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxos através de superfícies usando integrais de superfície e o teorema da divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície . A equação descreve uma esfera. Podemos reescrever essa equação para facilitar:
Completando o quadrado para :
Isso fica:
Então, a superfície é uma esfera de raio centrada em .

Passo 3

Agora, para calcular o fluxo da através de , podemos usar o teorema da divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a integral da divergência do campo vetorial dentro do volume encerrado por essa superfície.
O teorema da divergência é dado por:
Isso simplifica o cálculo, pois podemos calcular uma integral de volume em vez de uma integral de superfície.

Passo 4

Vamos calcular a divergência de . A divergência é dada por:
Calculando cada derivada:
Então,

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral de volume:
Para simplificar, vamos usar coordenadas esféricas deslocadas, já que a esfera está centrada em . Mas para facilitar ainda mais, podemos notar que a esfera é simétrica em relação aos eixos e , então as integrais de e sobre o volume serão zero devido à simetria. Resta apenas a integral de .
Portanto:

Passo 6

Vamos calcular a integral . Em coordenadas esféricas deslocadas, onde , a integração de sobre a esfera centrada em será equivalente a .
A Volume de uma esfera de raio é:
Então,
Multiplicando por 2 (da divergência):

Resposta

O fluxo de através de na direção de é .

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