Calcule o fluxo de
através de
na direção de
para
e
, com
a normal exterior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o fluxo do vetor
através da superfície
definida por
, onde
é a normal exterior. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxos através de superfícies usando integrais de superfície e o teorema da divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície
. A equação
descreve uma esfera. Podemos reescrever essa equação para facilitar:
Completando o quadrado para
:
Isso fica:
Então, a superfície
é uma esfera de raio
centrada em
.
Passo 3
Agora, para calcular o fluxo da
através de
, podemos usar o teorema da divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a integral da divergência do campo vetorial dentro do volume encerrado por essa superfície.
O teorema da divergência é dado por:
Isso simplifica o cálculo, pois podemos calcular uma integral de volume em vez de uma integral de superfície.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
. A divergência é dada por:
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral de volume:
Para simplificar, vamos usar coordenadas esféricas deslocadas, já que a esfera está centrada em
. Mas para facilitar ainda mais, podemos notar que a esfera é simétrica em relação aos eixos
e
, então as integrais de
e
sobre o volume serão zero devido à simetria. Resta apenas a integral de
.
Portanto:
Passo 6
Vamos calcular a integral
. Em coordenadas esféricas deslocadas, onde
, a integração de
sobre a esfera centrada em
será equivalente a
.
A Volume
de uma esfera de raio
é:
Então,
Multiplicando por 2 (da divergência):
Resposta
O fluxo de
através de
na direção de
é
.