Seja C um campo vetorial constante e não nulo em R^3 e seja uma função a valores reais f: Omega subset R^3 -> R. Definimos u(x, y, z) = f(x, y, z) C. Mostre que
div u = C . grad f

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o divergente do campo vetorial é igual ao produto escalar entre C e o gradiente de f.
Isso está dentro do estudo de Cálculo Vetorial, mais especificamente envolvendo as operações de divergente e gradiente. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as definições de divergente, gradiente e como elas interagem com campos vetoriais constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o divergente de um campo vetorial. O divergente, denotado por , mede a taxa de “expansão” ou “contração” do campo em cada ponto. Para um campo vetorial em R^3, o divergente é dado por:

Passo 3

Agora, vamos analisar o gradiente da função f. O gradiente, denotado por , é um vetor que aponta na direção de maior aumento de f e é dado por:

Passo 4

Sabemos que C é um vetor constante, ou seja, seus componentes não dependem de x, y ou z. Vamos escrever . Então, o campo vetorial u fica:

Passo 5

Aplicando a definição de divergente ao campo u, temos:
Como C é constante, as derivadas de , e em relação a x, y e z são zero. Assim:

Passo 6

Agora, observamos que o lado direito dessa expressão é exatamente o produto escalar entre C e :

Resposta

Portanto, mostramos que

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