Seja
um campo vetorial constante e não nulo em
e seja uma função a valores reais
. Definimos
. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o divergente do campo vetorial
é igual ao produto escalar entre
e o gradiente de
.
Isso está dentro do estudo de Cálculo Vetorial, mais especificamente envolvendo as operações de divergente e gradiente. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as definições de divergente, gradiente e como elas interagem com campos vetoriais constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o divergente de um campo vetorial. O divergente, denotado por
, mede a taxa de “expansão” ou “contração” do campo em cada ponto. Para um campo vetorial
em
, o divergente é dado por:
Passo 3
Agora, vamos analisar o gradiente da função
. O gradiente, denotado por
, é um vetor que aponta na direção de maior aumento de
e é dado por:
Passo 4
Sabemos que
é um vetor constante, ou seja, seus componentes não dependem de
,
ou
. Vamos escrever
. Então, o campo vetorial
fica:
Passo 5
Aplicando a definição de divergente ao campo
, temos:
Como
é constante, as derivadas de
,
e
em relação a
,
e
são zero. Assim:
Passo 6
Agora, observamos que o lado direito dessa expressão é exatamente o produto escalar entre
e
:
Resposta
Portanto, mostramos que
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Seja
. Calcule
com
a normal exterior a
, sendo: S uma superfície esférica de raio
, centrada na origem. Explique por que o teorema de Gauss não se aplica neste caso.
Calcule
, sendo
,
é orientada para o interior de
S é a superfície esférica
;
Se
é a região interior do cilindro
, entre os planos
e
, calcule
, sendo
a normal exterior a
.
Calcule o fluxo de
através de
na direção de
para
e
, com
a normal exterior.