Seja um campo vetorial constante e não nulo em e seja uma função a valores reais . Definimos . Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o divergente do campo vetorial é igual ao produto escalar entre e o gradiente de .
Isso está dentro do estudo de Cálculo Vetorial, mais especificamente envolvendo as operações de divergente e gradiente. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as definições de divergente, gradiente e como elas interagem com campos vetoriais constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o divergente de um campo vetorial. O divergente, denotado por , mede a taxa de “expansão” ou “contração” do campo em cada ponto. Para um campo vetorial em , o divergente é dado por:

Passo 3

Agora, vamos analisar o gradiente da função . O gradiente, denotado por , é um vetor que aponta na direção de maior aumento de e é dado por:

Passo 4

Sabemos que é um vetor constante, ou seja, seus componentes não dependem de , ou . Vamos escrever . Então, o campo vetorial fica:

Passo 5

Aplicando a definição de divergente ao campo , temos:
Como é constante, as derivadas de , e em relação a , e são zero. Assim:

Passo 6

Agora, observamos que o lado direito dessa expressão é exatamente o produto escalar entre e :

Resposta

Portanto, mostramos que

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Seja . Calcule com a normal exterior a , sendo: S uma superfície esférica de raio , centrada na origem. Explique por que o teorema de Gauss não se aplica neste caso.
Calcule , sendo , é orientada para o interior de S é a superfície esférica ;
Se é a região interior do cilindro , entre os planos e , calcule , sendo a normal exterior a .
Calcule o fluxo de através de na direção de para e , com a normal exterior.