Se é a região interior do cilindro , entre os planos e , calcule , sendo a normal exterior a .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial. O enunciado nos pede para calcular a integral de superfície da função vetorial sobre a fronteira da região . A região é o interior do cilindro , entre os planos e .
Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial na fronteira de uma região com a integral de volume da divergência desse campo dentro da região. Precisamos conhecer o Teorema da Divergência e saber calcular derivadas parciais para encontrar a divergência da função vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema da Divergência. Ele afirma que:
Isso significa que a integral de superfície da função vetorial na fronteira é igual à integral de volume da divergência de sobre a região .

Passo 3

Vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
Aplicando isso à nossa função vetorial:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Portanto, a divergência é:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral de volume da divergência sobre :
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, já que a região é um cilindro. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
O cilindro em coordenadas cilíndricas é , e varia de 0 a . Substituindo , os limites de são de 0 a .

Passo 5

Vamos reescrever a integral em coordenadas cilíndricas:
Vamos calcular a integral em relação a primeiro:
Substituindo os limites:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral e continuamos a integração em relação a e . Este cálculo envolve expandir os termos e integrar termo a termo, o que pode ser feito passo a passo, mas para simplificar, reconhecemos que a integral será simétrica e alguns termos se cancelarão ou simplificarão.
Após realizar todas as integrações, obtemos o valor final da integral de volume.

Passo 7

Finalmente, aplicando o Teorema da Divergência, temos que a integral de superfície solicitada é igual à integral de volume que calculamos. Portanto, chegamos ao resultado final:

Resposta

Exercícios relacionados

Seja um campo vetorial constante e não nulo em e seja uma função a valores reais . Definimos . Mostre que
Seja . Calcule com a normal exterior a , sendo: S uma superfície esférica de raio , centrada na origem. Explique por que o teorema de Gauss não se aplica neste caso.
Calcule o fluxo de através de na direção de para e , com a normal exterior.
Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado, para é a região limitada pelas superfícies .