Se
é a região interior do cilindro
, entre os planos
e
, calcule
, sendo
a normal exterior a
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial. O enunciado nos pede para calcular a integral de superfície da função vetorial
sobre a fronteira da região
. A região
é o interior do cilindro
, entre os planos
e
.
Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial na fronteira de uma região com a integral de volume da divergência desse campo dentro da região. Precisamos conhecer o Teorema da Divergência e saber calcular derivadas parciais para encontrar a divergência da função vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema da Divergência. Ele afirma que:
Isso significa que a integral de superfície da função vetorial
na fronteira
é igual à integral de volume da divergência de
sobre a região
.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Aplicando isso à nossa função vetorial:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Portanto, a divergência é:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral de volume da divergência sobre
:
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, já que a região
é um cilindro. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
O cilindro
em coordenadas cilíndricas é
, e
varia de 0 a
. Substituindo
, os limites de
são de 0 a
.
Passo 5
Vamos reescrever a integral em coordenadas cilíndricas:
Vamos calcular a integral em relação a
primeiro:
Substituindo os limites:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral e continuamos a integração em relação a
e
. Este cálculo envolve expandir os termos e integrar termo a termo, o que pode ser feito passo a passo, mas para simplificar, reconhecemos que a integral será simétrica e alguns termos se cancelarão ou simplificarão.
Após realizar todas as integrações, obtemos o valor final da integral de volume.
Passo 7
Finalmente, aplicando o Teorema da Divergência, temos que a integral de superfície solicitada é igual à integral de volume que calculamos. Portanto, chegamos ao resultado final:
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
um campo vetorial constante e não nulo em
e seja uma função a valores reais
. Definimos
. Mostre que
Seja
. Calcule
com
a normal exterior a
, sendo: S uma superfície esférica de raio
, centrada na origem. Explique por que o teorema de Gauss não se aplica neste caso.
Calcule o fluxo de
através de
na direção de
para
e
, com
a normal exterior.
Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado, para
é a região limitada pelas superfícies
.