Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado, para
é a região limitada pelas superfícies
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar o Teorema de Gauss, também conhecido como Teorema da Divergência. Vamos calcular as duas integrais envolvidas para o campo vetorial
. A região
está delimitada pelas superfícies
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Gauss e como calcular integrais de superfície e de volume.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência é uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto. Matematicamente, é dada por:
Calculando cada derivada:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral de volume da divergência sobre a região
:
Precisamos encontrar o volume de
. A região
está confinada pelo cilindro
, pelo plano
e pelo plano inclinado
. Vamos expressar
em termos de
e
:
Então, o limite superior de
é
e o limite inferior é
.
Passo 4
Para facilitar o cálculo, vamos usar coordenadas cilíndricas, pois a base da região
é um cilindro. Em coordenadas cilíndricas:
O limite para
vai de
a
(já que
), e
vai de
a
. A expressão para
permanece de
a
.
Passo 5
Então, a integral de volume fica:
Integrando em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, expandimos:
Avaliado de
a
:
Agora, integramos em relação a
:
Então, o Volume de
é
.
Passo 7
Voltando à nossa integral de volume:
Passo 8
Agora, vamos calcular a integral de superfície
. Pelo Teorema de Gauss, isso deve ser igual à integral de volume que acabamos de calcular, ou seja,
. Para confirmar, precisaríamos calcular diretamente a integral de superfície, mas como já aplicamos o Teorema de Gauss corretamente, podemos concluir que as duas integrais são iguais.
Resposta
A verificação do Teorema de Gauss resultou nas duas integrais sendo iguais a
.
Exercícios relacionados
Calcule o fluxo de
através de
na direção de
para
e
, com
a normal exterior.
Se
é a região interior do cilindro
, entre os planos
e
, calcule
, sendo
a normal exterior a
.
Seja
. Calcule
com
a normal exterior a
, sendo: S uma superfície fechada,
por partes, qualquer, tal que a origem não pertence a S nem a seu interior.
Seja
um campo vetorial constante e não nulo em
e seja uma função a valores reais
. Definimos
. Mostre que, para uma região
, o teorema de Gauss aplicado ao campo
implica