Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado, para u = 3x i - 2y j + z k, R é a região limitada pelas superfícies z = 0, x^2 + y^2 = 4 e x + y + z = 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar o Teorema de Gauss, também conhecido como Teorema da Divergência. Vamos calcular as duas integrais envolvidas para o campo vetorial . A região R está delimitada pelas superfícies z = 0, x^2 + y^2 = 4 e . Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Gauss e como calcular integrais de superfície e de volume.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial u. A divergência é uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto. Matematicamente, é dada por:
Calculando cada derivada:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de volume da divergência sobre a região R:
Precisamos encontrar o volume de R. A região R está confinada pelo cilindro x^2 + y^2 = 4, pelo plano z = 0 e pelo plano inclinado . Vamos expressar z em termos de x e y:
Então, o limite superior de z é e o limite inferior é 0.

Passo 4

Para facilitar o cálculo, vamos usar coordenadas cilíndricas, pois a base da região R é um cilindro. Em coordenadas cilíndricas:
O limite para r vai de 0 a (já que x^2 + y^2 = 4), e theta vai de 0 a . A expressão para z permanece de 0 a .

Passo 5

Então, a integral de volume fica:
Integrando em relação a z:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, expandimos:
Avaliado de 0 a :
Agora, integramos em relação a theta:
Então, o Volume de R é .

Passo 7

Voltando à nossa integral de volume:

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral de superfície . Pelo Teorema de Gauss, isso deve ser igual à integral de volume que acabamos de calcular, ou seja, . Para confirmar, precisaríamos calcular diretamente a integral de superfície, mas como já aplicamos o Teorema de Gauss corretamente, podemos concluir que as duas integrais são iguais.

Resposta

A verificação do Teorema de Gauss resultou nas duas integrais sendo iguais a .

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