Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado, para é a região limitada pelas superfícies .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar o Teorema de Gauss, também conhecido como Teorema da Divergência. Vamos calcular as duas integrais envolvidas para o campo vetorial . A região está delimitada pelas superfícies , e . Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Gauss e como calcular integrais de superfície e de volume.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial . A divergência é uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto. Matematicamente, é dada por:
Calculando cada derivada:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de volume da divergência sobre a região :
Precisamos encontrar o volume de . A região está confinada pelo cilindro , pelo plano e pelo plano inclinado . Vamos expressar em termos de e :
Então, o limite superior de é e o limite inferior é .

Passo 4

Para facilitar o cálculo, vamos usar coordenadas cilíndricas, pois a base da região é um cilindro. Em coordenadas cilíndricas:
O limite para vai de a (já que ), e vai de a . A expressão para permanece de a .

Passo 5

Então, a integral de volume fica:
Integrando em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, expandimos:
Avaliado de a :
Agora, integramos em relação a :
Então, o Volume de é .

Passo 7

Voltando à nossa integral de volume:

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral de superfície . Pelo Teorema de Gauss, isso deve ser igual à integral de volume que acabamos de calcular, ou seja, . Para confirmar, precisaríamos calcular diretamente a integral de superfície, mas como já aplicamos o Teorema de Gauss corretamente, podemos concluir que as duas integrais são iguais.

Resposta

A verificação do Teorema de Gauss resultou nas duas integrais sendo iguais a .

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Seja um campo vetorial constante e não nulo em e seja uma função a valores reais . Definimos . Mostre que, para uma região , o teorema de Gauss aplicado ao campo implica