Seja u=rr^3, r=(x, y, z), r=|r|. Calcule oiintS u cdot d S com n a normal exterior a S, sendo: S uma superfície fechada, C^1 por partes, qualquer, tal que a origem não pertence a S nem a seu interior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de superfície fechada de um campo vetorial específico. O conteúdo aqui é cálculo vetorial, mais precisamente a aplicação do Teorema da Divergência. Vamos precisar entender o campo vetorial dado e aplicar o teorema para encontrar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o campo vetorial u = dfracrr^3. Aqui, r = (x, y, z) é o vetor posição e r = |r| = raizx^2 + y^2 + z^2 é a magnitude desse vetor. Então, u basicamente pega cada componente de r e divide por r^3.

Passo 3

A integral que queremos calcular é oiintS u cdot dS, que representa o fluxo do campo u através da superfície fechada S. Segundo o Teorema da Divergência, essa integral pode ser relacionada à integral do divergente de u sobre o volume encerrado por S.

Passo 4

Vamos calcular o divergente de u:
nabla cdot u = nabla cdot ( dfracrr^3 )
Calculando isso, descobrimos que o divergente é zero em todo ponto onde r neq 0. Isso porque a derivada das componentes de u resulta em cancelamentos que dão zero.

Passo 5

Como o divergente de u é zero e a origem não está dentro da superfície S, podemos aplicar o Teorema da Divergência diretamente. A integral do divergente sobre o volume é zero, então a integral de superfície também será zero.

Resposta

oiintS u cdot dS = 0

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