Seja . Calcule com a normal exterior a , sendo: S uma superfície fechada, por partes, qualquer, tal que a origem não pertence a S nem a seu interior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de superfície fechada de um campo vetorial específico. O conteúdo aqui é cálculo vetorial, mais precisamente a aplicação do Teorema da Divergência. Vamos precisar entender o campo vetorial dado e aplicar o teorema para encontrar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o campo vetorial . Aqui, é o vetor posição e é a magnitude desse vetor. Então, basicamente pega cada componente de e divide por .

Passo 3

A integral que queremos calcular é , que representa o fluxo do campo através da superfície fechada . Segundo o Teorema da Divergência, essa integral pode ser relacionada à integral do divergente de sobre o volume encerrado por .

Passo 4

Vamos calcular o divergente de :
Calculando isso, descobrimos que o divergente é zero em todo ponto onde . Isso porque a derivada das componentes de resulta em cancelamentos que dão zero.

Passo 5

Como o divergente de é zero e a origem não está dentro da superfície , podemos aplicar o Teorema da Divergência diretamente. A integral do divergente sobre o volume é zero, então a integral de superfície também será zero.

Resposta

Exercícios relacionados

Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado, para é a região limitada pelas superfícies .
Calcule o fluxo de através de na direção de para e , com a normal exterior.
Seja um campo vetorial constante e não nulo em e seja uma função a valores reais . Definimos . Mostre que, para uma região , o teorema de Gauss aplicado ao campo implica
Calcule o fluxo de através de na direção de para e a normal exterior.