Seja
. Calcule
com
a normal exterior a
, sendo: S uma superfície fechada,
por partes, qualquer, tal que a origem não pertence a S nem a seu interior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de superfície fechada de um campo vetorial específico. O conteúdo aqui é cálculo vetorial, mais precisamente a aplicação do Teorema da Divergência. Vamos precisar entender o campo vetorial dado e aplicar o teorema para encontrar a resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o campo vetorial
. Aqui,
é o vetor posição e
é a magnitude desse vetor. Então,
basicamente pega cada componente de
e divide por
.
Passo 3
A integral que queremos calcular é
, que representa o fluxo do campo
através da superfície fechada
. Segundo o Teorema da Divergência, essa integral pode ser relacionada à integral do divergente de
sobre o volume encerrado por
.
Passo 4
Vamos calcular o divergente de
:
Calculando isso, descobrimos que o divergente é zero em todo ponto onde
. Isso porque a derivada das componentes de
resulta em cancelamentos que dão zero.
Passo 5
Como o divergente de
é zero e a origem não está dentro da superfície
, podemos aplicar o Teorema da Divergência diretamente. A integral do divergente sobre o volume é zero, então a integral de superfície também será zero.