Calcule o fluxo de através de na direção de para e a normal exterior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície definida por onde . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente fluxo e integrais de superfície, para resolver isso. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície, encontrar a normal externa e calcular a integral de fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a superfície . A equação representa um paraboloide que se abre para baixo. A condição nos diz que estamos interessados apenas na parte do paraboloide que está acima do plano .

Passo 3

Para calcular o fluxo, podemos usar a definição de integral de superfície:
Onde é o vetor normal externo à superfície .

Passo 4

Vamos parametrizar a superfície usando coordenadas polares, já que a equação do paraboloide tem simetria circular. Assim, podemos definir:
Onde varia de a (pois ) e varia de a .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o vetor normal . Primeiro, calculamos os vetores tangentes à superfície:
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores:
Para obter a unidade normal externa, normalizamos :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos substituir , , e na expressão do campo vetorial :

Passo 7

Agora, calculamos o produto escalar :

Passo 8

A integral de fluxo fica então:

Passo 9

Essa integral é bastante complexa, e resolver analiticamente pode ser difícil. Portanto, o fluxo pode ser melhor calculado numericamente usando métodos de integração apropriados.

Resposta

O fluxo de através da superfície é igual à integral dupla apresentada no Passo 8, que deve ser avaliada numericamente para obter o valor final.

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Seja um campo vetorial constante e não nulo em e seja uma função a valores reais . Definimos . Mostre que, para uma região , o teorema de Gauss aplicado ao campo implica
Seja . Calcule com a normal exterior a , sendo: S uma superfície fechada, por partes, qualquer, tal que a origem não pertence a S nem a seu interior.
Use o Teste da Integral para determinar se as séries convergem ou divergem: .
Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações: