Calcule o fluxo de u através de S na direção de n para u = (e^y * arctan(z), e^z * ln(x^2 + 1), z) e S = { z = 4 - x^2 - y^2, z ≥ 1 }, n̂ a normal exterior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície S definida por onde z ≥ 1. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente fluxo e integrais de superfície, para resolver isso. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície, encontrar a normal externa e calcular a integral de fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a superfície S. A equação representa um paraboloide que se abre para baixo. A condição z ≥ 1 nos diz que estamos interessados apenas na parte do paraboloide que está acima do plano .

Passo 3

Para calcular o fluxo, podemos usar a definição de integral de superfície:
Onde n é o vetor normal externo à superfície S.

Passo 4

Vamos parametrizar a superfície S usando coordenadas polares, já que a equação do paraboloide tem simetria circular. Assim, podemos definir:
Onde r varia de 0 a raiz(3) (pois ) e theta varia de 0 a .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o vetor normal n. Primeiro, calculamos os vetores tangentes à superfície:
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores:
Para obter a unidade normal externa, normalizamos n:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos substituir x, y, e z na expressão do campo vetorial u:

Passo 7

Agora, calculamos o produto escalar :

Passo 8

A integral de fluxo fica então:

Passo 9

Essa integral é bastante complexa, e resolver analiticamente pode ser difícil. Portanto, o fluxo pode ser melhor calculado numericamente usando métodos de integração apropriados.

Resposta

O fluxo de u através da superfície S é igual à integral dupla apresentada no Passo 8, que deve ser avaliada numericamente para obter o valor final.

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