Calcule o fluxo de
através de
na direção de
para
e
a normal exterior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
definida por
onde
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente fluxo e integrais de superfície, para resolver isso. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície, encontrar a normal externa e calcular a integral de fluxo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a superfície
. A equação
representa um paraboloide que se abre para baixo. A condição
nos diz que estamos interessados apenas na parte do paraboloide que está acima do plano
.
Passo 3
Para calcular o fluxo, podemos usar a definição de integral de superfície:
Onde
é o vetor normal externo à superfície
.
Passo 4
Vamos parametrizar a superfície
usando coordenadas polares, já que a equação do paraboloide tem simetria circular. Assim, podemos definir:
Onde
varia de
a
(pois
) e
varia de
a
.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o vetor normal
. Primeiro, calculamos os vetores tangentes à superfície:
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores:
Para obter a unidade normal externa, normalizamos
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos substituir
,
, e
na expressão do campo vetorial
:
Passo 7
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 8
A integral de fluxo fica então:
Passo 9
Essa integral é bastante complexa, e resolver analiticamente pode ser difícil. Portanto, o fluxo pode ser melhor calculado numericamente usando métodos de integração apropriados.
Resposta
O fluxo de
através da superfície
é igual à integral dupla apresentada no Passo 8, que deve ser avaliada numericamente para obter o valor final.