Calcule o fluxo de através de na direção de para e a normal exterior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície definida por onde . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente fluxo e integrais de superfície, para resolver isso. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície, encontrar a normal externa e calcular a integral de fluxo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a superfície . A equação representa um paraboloide que se abre para baixo. A condição nos diz que estamos interessados apenas na parte do paraboloide que está acima do plano .
Passo 3
Para calcular o fluxo, podemos usar a definição de integral de superfície:
Onde é o vetor normal externo à superfície .
Passo 4
Vamos parametrizar a superfície usando coordenadas polares, já que a equação do paraboloide tem simetria circular. Assim, podemos definir:
Onde varia de a (pois ) e varia de a .
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o vetor normal . Primeiro, calculamos os vetores tangentes à superfície:
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores:
Para obter a unidade normal externa, normalizamos :
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos substituir , , e na expressão do campo vetorial :
Passo 7
Agora, calculamos o produto escalar :
Passo 8
A integral de fluxo fica então:
Passo 9
Essa integral é bastante complexa, e resolver analiticamente pode ser difícil. Portanto, o fluxo pode ser melhor calculado numericamente usando métodos de integração apropriados.
Resposta
O fluxo de através da superfície é igual à integral dupla apresentada no Passo 8, que deve ser avaliada numericamente para obter o valor final.