Use o Teste da Integral para determinar se as séries convergem ou divergem: sumn=1^+infty ln (n)n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma série infinita: . Nosso objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge usando o Teste da Integral. Para isso, vamos precisar entender como transformar a série em uma integral e analisar o comportamento dessa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Integral. Ele nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Se a integral de uma função semelhante à da série converge, então a série também converge; se a integral diverge, a série também diverge.

Passo 3

Vamos associar a nossa série a uma função contínua, positiva e decrescente. No nosso caso, a função é . Precisamos verificar se essa função atende aos critérios:
  1. Contínua: Sim, e são contínuos para .
  2. Positiva: Para , e , então .
  3. Decrescente: Vamos derivar para confirmar.

Passo 4

Vamos derivar f'(x) = 1 cdot x - ln(x) cdot 1x^2 = x - ln(x)x^2 para verificar se é decrescente:
Para , onde , temos , então . Assim, a função é decrescente para .

Passo 5

Agora, aplicamos o Teste da Integral. Calculamos a integral da função integral1^+infty ln(x)x , dx de 1 ao infinito:
Vamos resolver essa integral.

Passo 6

Para resolver integral u , du = u^22 + C = (ln(x))^22 + C , fazemos uma substituição simples:
Seja , então .
Portanto, a integral se torna:

Passo 7

Agora, avaliamos o limite da integral definida:
integral1^+infty ln(x)x , dx = limb to +infty [ (ln(b))^22 - (ln(1))^22 ]
Sabemos que = limb to +infty (ln(b))^22 , então:

Passo 8

Agora, analisamos o limite:
limb to +infty (ln(b))^22 = +infty
Isso significa que a integral diverge.

Resposta

Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, a série também diverge.

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