Use o Teste da Integral para determinar se as séries convergem ou divergem:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma série infinita:
. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge usando o Teste da Integral. Para isso, vamos precisar entender como transformar a série em uma integral e analisar o comportamento dessa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Integral. Ele nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Se a integral de uma função semelhante à da série converge, então a série também converge; se a integral diverge, a série também diverge.
Passo 3
Vamos associar a nossa série a uma função contínua, positiva e decrescente. No nosso caso, a função é
. Precisamos verificar se essa função atende aos critérios:
- Contínua: Sim,
e são contínuos para . - Positiva: Para
, e , então . - Decrescente: Vamos derivar
para confirmar.
Passo 4
Vamos derivar
para verificar se é decrescente:
Para
, onde
, temos
, então
. Assim, a função é decrescente para
.
Passo 5
Agora, aplicamos o Teste da Integral. Calculamos a integral da função
de 1 ao infinito:
Vamos resolver essa integral.
Passo 6
Para resolver
, fazemos uma substituição simples:
Seja , então
.
Portanto, a integral se torna:
Seja
Portanto, a integral se torna:
Passo 7
Agora, avaliamos o limite da integral definida:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Agora, analisamos o limite:
Isso significa que a integral diverge.
Resposta
Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, a série
também diverge.