Use o Teste da Integral para determinar se as séries convergem ou divergem: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma série infinita: . Nosso objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge usando o Teste da Integral. Para isso, vamos precisar entender como transformar a série em uma integral e analisar o comportamento dessa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Integral. Ele nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Se a integral de uma função semelhante à da série converge, então a série também converge; se a integral diverge, a série também diverge.
Passo 3
Vamos associar a nossa série a uma função contínua, positiva e decrescente. No nosso caso, a função é . Precisamos verificar se essa função atende aos critérios:
Contínua: Sim, e são contínuos para .
Positiva: Para , e , então .
Decrescente: Vamos derivar para confirmar.
Passo 4
Vamos derivar para verificar se é decrescente:
Para , onde , temos , então . Assim, a função é decrescente para .
Passo 5
Agora, aplicamos o Teste da Integral. Calculamos a integral da função de 1 ao infinito:
Vamos resolver essa integral.
Passo 6
Para resolver , fazemos uma substituição simples:
Seja , então .
Portanto, a integral se torna:
Passo 7
Agora, avaliamos o limite da integral definida:
Sabemos que , então:
Passo 8
Agora, analisamos o limite:
Isso significa que a integral diverge.
Resposta
Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, a série também diverge.