Seja um campo vetorial constante e não nulo em e seja uma função a valores reais . Definimos . Mostre que, para uma região , o teorema de Gauss aplicado ao campo implica
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta um campo vetorial constante em e uma função real . Definimos o campo vetorial . O objetivo é usar o Teorema de Gauss para mostrar que:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, mais especificamente com o Teorema de Gauss, que relaciona integrais de superfície com integrais de volume. Vamos precisar entender o que é divergência e como aplicar o Teorema de Gauss a esse campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Gauss. Ele diz que para qualquer campo vetorial suave em uma região com fronteira orientada positivamente:
Onde é a divergência de .
Passo 3
Nosso campo vetorial é . Como é constante, sua divergência é zero:
Agora, calculamos a divergência de usando a regra do produto:
Como , fica:
Passo 4
Aplicando o Teorema de Gauss ao nosso campo , temos:
Mas , então:
Passo 5
Agora, para atingir a forma desejada no exercício, observamos que pode ser representado como se for alinhado com o vetor normal da superfície.
Assim, podemos simplificar a equação para:
Resposta
Portanto, aplicando o Teorema de Gauss ao campo , mostramos que: