Seja um campo vetorial constante e não nulo em e seja uma função a valores reais . Definimos . Mostre que, para uma região , o teorema de Gauss aplicado ao campo implica
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta um campo vetorial constante C em R^3 e uma função real f(x, y, z). Definimos o campo vetorial u(x, y, z) = f(x, y, z) C. O objetivo é usar o Teorema de Gauss para mostrar que:
integral duplapartial K f , d S = integral triplaK grad f , d V
Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, mais especificamente com o Teorema de Gauss, que relaciona integrais de superfície com integrais de volume. Vamos precisar entender o que é divergência e como aplicar o Teorema de Gauss a esse campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Gauss. Ele diz que para qualquer campo vetorial u suave em uma região K com fronteira partial K orientada positivamente:
integral duplapartial K u cdot d S = integral triplaK div u , d V
Onde div u é a divergência de u.
Passo 3
Nosso campo vetorial é u = f C. Como C é constante, sua divergência é zero:
div C = 0
Agora, calculamos a divergência de u usando a regra do produto:
div (f C) = C cdot grad f + f div C
Como div C = 0, fica:
div u = C cdot grad f
Passo 4
Aplicando o Teorema de Gauss ao nosso campo u, temos:
integral duplapartial K u cdot d S = integral triplaK C cdot grad f , d V
Mas u = f C, então:
integral duplapartial K f C cdot d S = integral triplaK C cdot grad f , d V
Passo 5
Agora, para atingir a forma desejada no exercício, observamos que C cdot d S pode ser representado como d S se C for alinhado com o vetor normal n da superfície.
Assim, podemos simplificar a equação para:
integral duplapartial K f , d S = integral triplaK grad f , d V
Resposta
Portanto, aplicando o Teorema de Gauss ao campo u = f C, mostramos que:
integral duplapartial K f d S = integral triplaK grad f , d V