Seja um campo vetorial constante e não nulo em e seja uma função a valores reais . Definimos . Mostre que, para uma região , o teorema de Gauss aplicado ao campo implica

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta um campo vetorial constante em e uma função real . Definimos o campo vetorial . O objetivo é usar o Teorema de Gauss para mostrar que:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, mais especificamente com o Teorema de Gauss, que relaciona integrais de superfície com integrais de volume. Vamos precisar entender o que é divergência e como aplicar o Teorema de Gauss a esse campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Gauss. Ele diz que para qualquer campo vetorial suave em uma região com fronteira orientada positivamente:
Onde é a divergência de .

Passo 3

Nosso campo vetorial é . Como é constante, sua divergência é zero:
Agora, calculamos a divergência de usando a regra do produto:
Como , fica:

Passo 4

Aplicando o Teorema de Gauss ao nosso campo , temos:
Mas , então:

Passo 5

Agora, para atingir a forma desejada no exercício, observamos que pode ser representado como se for alinhado com o vetor normal da superfície.
Assim, podemos simplificar a equação para:

Resposta

Portanto, aplicando o Teorema de Gauss ao campo , mostramos que:

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Seja . Calcule com a normal exterior a , sendo: S uma superfície fechada, por partes, qualquer, tal que a origem não pertence a S nem a seu interior.
Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado, para é a região limitada pelas superfícies .
Calcule o fluxo de através de na direção de para e a normal exterior.
Use o Teste da Integral para determinar se as séries convergem ou divergem: .