Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da seguinte equação:

Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar a equação característica, que nos ajuda a encontrar soluções para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos por , por e por 1, resultando na seguinte equação:

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:

Aqui, , e .

Passo 4

Calculando o discriminante ( ):

Como , teremos duas raízes reais e distintas.

Passo 5

Agora, encontrando as raízes:

Isso nos dá:

Passo 6

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Quando temos duas raízes reais e distintas e , a solução é:

onde e são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

onde e são constantes que dependem das condições iniciais.

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