Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da seguinte equação:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar a equação característica, que nos ajuda a encontrar soluções para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos
por
,
por
e
por 1, resultando na seguinte equação:
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Vamos resolver
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
Passo 4
Calculando o discriminante (
):
Como
Passo 5
Agora, encontrando as raízes:
Isso nos dá:
Passo 6
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Quando temos duas raízes reais e distintas
e
, a solução é:
onde
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
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.
Calcule o fluxo de
através de
na direção de
para
e
a normal exterior.
Considere o PVI
: Resolva o problema de valor inicial.
Determine a solução de cada um dos seguintes PVIs e identifique o que ocorre quando
: