Calcule o fluxo de
através de
, onde
e
é a superfície do sólido delimitado pelo paraboloide
e pelo plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
, onde
, e
é a superfície do sólido limitado pelo paraboloide
e pelo plano
.
Aqui, estamos lidando com conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente com o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que facilita bastante esse tipo de cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície
mede a quantidade de
que “passa” pela superfície. Matemáticamente, é dado por:
Aqui,
é um vetor normal à superfície
, com magnitude igual à área infinitesimal.
Passo 3
Calcular esse fluxo diretamente pode ser complicado, mas o Teorema da Divergência facilita isso. Ele diz que o fluxo de
através de
é igual à integral tripla da divergência de
sobre o volume
delimitado por
:
Então, nossa primeira tarefa é calcular a divergência de
.
Passo 4
A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Então,
Passo 5
Agora, precisamos configurar a integral tripla
. Observando a simetria do volume
, que está limitado pelo paraboloide
e pelo plano
, é conveniente usar coordenadas cilíndricas para simplificar a integração.
Em coordenadas cilíndricas:
Além disso,
, então nossa divergência fica:
Passo 6
Os limites de integração em coordenadas cilíndricas serão:
-
varia de a (com toda a volta ao redor do eixo ) -
varia de até o valor onde o paraboloide intercepta o plano .
Vamos encontrar esse valor de
:
-
varia de até
Passo 7
Agora, montamos a integral tripla:
Simplificando
:
Passo 8
Integrando em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 9
Integrando em relação a
:
Então, a integral agora é:
Resposta
O fluxo de
através de
é
.
Exercícios relacionados
Calcule
onde
é a curva de intersecão do plano
com o cilindro
, e orientada no sentido positivo, quando vista de cima.
Esboçe o sólido cujo volume é dado pela integral
Determine a área da parte da superfície
. que está dentro do cilindro
.
Um fluido tem densidade
e escoa com velocidade
, onde
e
são medidos em metros e as componentes de
, em metros por segundo. Encontre a taxa de vazão para fora do hemisfério
.