Calcule o fluxo de através de , onde
e é a superfície do sólido delimitado pelo paraboloide e pelo plano .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície , onde , e é a superfície do sólido limitado pelo paraboloide e pelo plano .
Aqui, estamos lidando com conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente com o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que facilita bastante esse tipo de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de que “passa” pela superfície. Matemáticamente, é dado por:
Aqui, é um vetor normal à superfície , com magnitude igual à área infinitesimal.

Passo 3

Calcular esse fluxo diretamente pode ser complicado, mas o Teorema da Divergência facilita isso. Ele diz que o fluxo de através de é igual à integral tripla da divergência de sobre o volume delimitado por :
Então, nossa primeira tarefa é calcular a divergência de .

Passo 4

A divergência de um campo vetorial é dada por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Então,

Passo 5

Agora, precisamos configurar a integral tripla . Observando a simetria do volume , que está limitado pelo paraboloide e pelo plano , é conveniente usar coordenadas cilíndricas para simplificar a integração.
Em coordenadas cilíndricas:
Além disso, , então nossa divergência fica:

Passo 6

Os limites de integração em coordenadas cilíndricas serão:
  • varia de a (com toda a volta ao redor do eixo )
  • varia de até o valor onde o paraboloide intercepta o plano .
Vamos encontrar esse valor de :
  • varia de até

Passo 7

Agora, montamos a integral tripla:
Simplificando :

Passo 8

Integrando em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 9

Integrando em relação a :
Então, a integral agora é:

Resposta

O fluxo de através de é .

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Calcule
onde é a curva de intersecão do plano com o cilindro , e orientada no sentido positivo, quando vista de cima.
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Determine a área da parte da superfície . que está dentro do cilindro .
Um fluido tem densidade e escoa com velocidade , onde e são medidos em metros e as componentes de , em metros por segundo. Encontre a taxa de vazão para fora do hemisfério .