Esboçe o sólido cujo volume é dado pela integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar o sólido cujo volume é dado pela integral dupla:
Isso envolve entender os limites de integração nas direções
e
, além da função
que representa a altura do sólido em cada ponto do plano
.
Para resolver, vamos precisar saber sobre integrais duplas, regiões de integração no plano
e como representar graficamente a função que define a altura do sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração. A integral está estruturada da seguinte forma:
Isso significa que:
- A variável
varia de a . - A variável
varia de a .
Então, a região de integração no plano
é um retângulo com
entre
e
, e
entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função que está sendo integrada:
.
Esta função depende apenas de
e nos dá a altura do sólido em cada ponto
. Em outras palavras, para cada
no intervalo de
a
, a altura
do sólido é
.
Isso significa que o sólido se estende verticalmente de
até
.
Passo 4
Vamos esboçar o sólido:
-
Base no plano
: é um retângulo definido pelos limites e . -
Altura: para cada ponto
na base, a altura do sólido é . Isso forma uma parábola invertida em relação ao eixo .
Então, o sólido é como uma “cúpula” parabólica que se estende sobre o retângulo da base.
Passo 5
Para visualizar:
- Eixo
: de a . - Eixo
: de a . - Eixo
: de até .
O sólido terá uma forma simétrica em relação ao eixo
, já que a altura só depende de
. À medida que
se afasta de
, a altura diminui seguindo a parábola
.
Resposta
O sólido é um prisma retangular na base
com
entre
e
,
entre
e
, e altura definida pela parábola
. Visualmente, é uma “cúpula” parabólica que se estende sobre o retângulo da base.
Exercícios relacionados
Seja
a regiāo do plano delimitada por
e pelo eixo
. Determine a integral dupla
.
Calcule
onde
é a curva de intersecão do plano
com o cilindro
, e orientada no sentido positivo, quando vista de cima.
Calcule o fluxo de
através de
, onde
e
é a superfície do sólido delimitado pelo paraboloide
e pelo plano
.