Esboçe o sólido cujo volume é dado pela integral

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar o sólido cujo volume é dado pela integral dupla:
Isso envolve entender os limites de integração nas direções e , além da função que representa a altura do sólido em cada ponto do plano .
Para resolver, vamos precisar saber sobre integrais duplas, regiões de integração no plano e como representar graficamente a função que define a altura do sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração. A integral está estruturada da seguinte forma:
Isso significa que:
  • A variável varia de a .
  • A variável varia de a .
Então, a região de integração no plano é um retângulo com entre e , e entre e .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função que está sendo integrada: .
Esta função depende apenas de e nos dá a altura do sólido em cada ponto . Em outras palavras, para cada no intervalo de a , a altura do sólido é .
Isso significa que o sólido se estende verticalmente de até .

Passo 4

Vamos esboçar o sólido:
  1. Base no plano : é um retângulo definido pelos limites e .
  2. Altura: para cada ponto na base, a altura do sólido é . Isso forma uma parábola invertida em relação ao eixo .
Então, o sólido é como uma “cúpula” parabólica que se estende sobre o retângulo da base.

Passo 5

Para visualizar:
  • Eixo : de a .
  • Eixo : de a .
  • Eixo : de até .
O sólido terá uma forma simétrica em relação ao eixo , já que a altura só depende de . À medida que se afasta de , a altura diminui seguindo a parábola .

Resposta

O sólido é um prisma retangular na base com entre e , entre e , e altura definida pela parábola . Visualmente, é uma “cúpula” parabólica que se estende sobre o retângulo da base.

Exercícios relacionados

Seja a regiāo do plano delimitada por e pelo eixo . Determine a integral dupla .
Calcule
onde é a curva de intersecão do plano com o cilindro , e orientada no sentido positivo, quando vista de cima.
Calcule o fluxo de através de , onde
e é a superfície do sólido delimitado pelo paraboloide e pelo plano .