Um fluido tem densidade 870 kappa g / m^3 e escoa com velocidade v = <z, y^2, x^2>, onde x, y e z são medidos em metros e as componentes de v, em metros por segundo. Encontre a taxa de vazão para fora do hemisfério x^2 + y^2 + z^2 = 4, z ≥ 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um fluido que está escoando com uma certa velocidade dentro de um hemisfério. A gente precisa descobrir qual é a taxa de vazão para fora desse hemisfério. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, mais especificamente fluxo vetorial e o Teorema da Divergência. Vamos precisar entender como calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície e como aplicar esse teorema para facilitar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial v através de uma superfície S mede a quantidade de “fluido” que passa por essa superfície. Matematicamente, o fluxo é dado por:
Aqui, é o vetor normal à superfície S.

Passo 3

Para facilitar nosso trabalho, vamos usar o Teorema da Divergência. Esse teorema relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com o integral da divergência do campo vetorial sobre o volume limitado por essa superfície. A fórmula do teorema é:
Onde:
  • é a divergência de v
  • V é o volume dentro da superfície S

Passo 4

Vamos calcular a divergência do campo vetorial . A divergência é dada por:
Calculando cada termo:
Portanto,

Passo 5

Agora, precisamos calcular o integral da divergência sobre o volume do hemisfério , . Para isso, é mais fácil usar coordenadas esféricas, já que a região é uma esfera.
Em coordenadas esféricas:
Como a esfera tem raio 2, vai de 0 a 2, de 0 a (já que ), e de 0 a .
Vamos substituir na divergência:

Passo 6

Agora, montamos o integral triplo:
Simplificando:
Vamos resolver as integrais uma a uma.
Primeiro, a integral em :
Agora, a integral em :
E por último, a integral em :

Resposta

A taxa de vazão para fora do hemisfério é 0 m³/s.

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