Um fluido tem densidade
e escoa com velocidade
, onde
e
são medidos em metros e as componentes de
, em metros por segundo. Encontre a taxa de vazão para fora do hemisfério
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um fluido que está escoando com uma certa velocidade dentro de um hemisfério. A gente precisa descobrir qual é a taxa de vazão para fora desse hemisfério. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, mais especificamente fluxo vetorial e o Teorema da Divergência. Vamos precisar entender como calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície e como aplicar esse teorema para facilitar nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial v através de uma superfície S mede a quantidade de “fluido” que passa por essa superfície. Matematicamente, o fluxo é dado por:
Aqui,
é o vetor normal à superfície S.
Passo 3
Para facilitar nosso trabalho, vamos usar o Teorema da Divergência. Esse teorema relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com o integral da divergência do campo vetorial sobre o volume limitado por essa superfície. A fórmula do teorema é:
Onde:
-
é a divergência de v - V é o volume dentro da superfície S
Passo 4
Vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência é dada por:
Calculando cada termo:
Portanto,
Passo 5
Agora, precisamos calcular o integral da divergência sobre o volume do hemisfério
,
. Para isso, é mais fácil usar coordenadas esféricas, já que a região é uma esfera.
Em coordenadas esféricas:
Como a esfera tem raio 2,
vai de 0 a 2,
de 0 a
(já que
), e
de 0 a
.
Vamos substituir
na divergência:
Passo 6
Agora, montamos o integral triplo:
Simplificando:
Vamos resolver as integrais uma a uma.
Primeiro, a integral em
:
Agora, a integral em
:
E por último, a integral em
:
Resposta
A taxa de vazão para fora do hemisfério é 0 m³/s.