Calcule
oint(x z+x^2-y^3) d x+(x y z+y^2+23 x^3) d y+(z^2-y^2+12 x^2) d z
onde C é a curva de intersecão do plano x+y+z-2=0 com o cilindro x^2+y^2=1, e orientada no sentido positivo, quando vista de cima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos que calcular uma integral de linha sobre uma curva . A curva é a interseção de um plano com um cilindro . A integral envolve uma função vetorial com componentes em , e .
Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e então calcular a integral usando essa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x = cos theta . Sabemos que y = sin theta é a interseção do plano cos theta + sin theta + z = 2 Rightarrow z = 2 - cos theta - sin theta com o cilindro r(theta) = (cos theta, sin theta, 2 - cos theta - sin theta) .
Como o cilindro é definido por , podemos usar coordenadas polares para facilitar. Vamos definir:
onde varia de a para percorrer toda a circunferência. Agora, usando a equação do plano para encontrar :
Então, a parametrização da curva fica:
com indo de a .

Passo 3

Agora que temos a parametrização, precisamos encontrar as derivadas em relação a dxdtheta = -sin theta para dydtheta = cos theta , dzdtheta = sin theta - cos theta e dx = -sin theta , dtheta :
dy = cos theta , dtheta
dz = (sin theta - cos theta) , dtheta
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos substituir oint (x z + x^2 - y^3) dx + (x y z + y^2 + 23 x^3) dy + (z^2 - y^2 + 12 x^2) dz , integral0^2pi (cos theta (2 - cos theta - sin theta) + cos^2 theta - sin^3 theta )(- sin theta) , dtheta , + (cos theta sin theta (2 - cos theta - sin theta) + sin^2 theta + 23 cos^3 theta ) cos theta , dtheta , + ((2 - cos theta - sin theta)^2 - sin^2 theta + 12 cos^2 theta ) (sin theta - cos theta) , dtheta , e na integral original:
Substituindo os valores parametrizados:

Passo 5

Agora, vamos simplificar cada parte da integral:
Primeira parte:
(cos theta (2 - cos theta - sin theta) + cos^2 theta - sin^3 theta )(- sin theta)
Expandindo:
(2cos theta - cos^2 theta - cos theta sin theta + cos^2 theta - sin^3 theta)(- sin theta)
= (2cos theta - cos theta sin theta - sin^3 theta)(- sin theta)
= -2cos theta sin theta + cos theta sin^2 theta + sin^4 theta
Segunda parte:
(cos theta sin theta (2 - cos theta - sin theta) + sin^2 theta + 23 cos^3 theta ) cos theta
Expandindo:
(2cos theta sin theta - cos^2 theta sin theta - cos theta sin^2 theta + sin^2 theta + 23 cos^3 theta) cos theta
= 2cos^2 theta sin theta - cos^3 theta sin theta - cos^2 theta sin^2 theta + cos theta sin^2 theta + 23 cos^4 theta
Terceira parte:
((2 - cos theta - sin theta)^2 - sin^2 theta + 12 cos^2 theta ) (sin theta - cos theta)
Expandindo e simplificando:
= (4 - 4cos theta - 4sin theta + cos^2 theta + 2cos theta sin theta + sin^2 theta - sin^2 theta + 12 cos^2 theta)(sin theta - cos theta)
= (4 - 4cos theta - 4sin theta + 32 cos^2 theta + 2cos theta sin theta)(sin theta - cos theta)
= (continuar a expansão) ã
Nota: A simplificação completa envolve muitos termos e integrais, que podem ser bastante trabalhosos. Em muitos casos, especialmente com integrais fechadas, é mais eficiente usar teoremas como o de Stokes para simplificar o cálculo.

Passo 6

Vamos usar o Teorema de Stokes para simplificar nossa vida! O teorema de Stokes relaciona a integral de uma função vetorial ao longo de uma curva fechada ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS com a integral da sua rotacional sobre uma superfície F = (x z + x^2 - y^3) i + (x y z + y^2 + 23 x^3) j + (z^2 - y^2 + 12 x^2) k limitada por nabla times F = ( partialpartial y Fz - partialpartial z Fy ) i - ( partialpartial x Fz - partialpartial z Fx ) j + ( partialpartial x Fy - partialpartial y Fx ) k :
partial Fzpartial y = partialpartial y (z^2 - y^2 + 12 x^2) = -2y
Onde partial Fypartial z = partialpartial z (x y z + y^2 + 23 x^3) = x y é o vetor normal à superfície partial Fzpartial x = partialpartial x (z^2 - y^2 + 12 x^2) = x .
Primeiro, vamos calcular o rotacional de partial Fxpartial z = partialpartial z (x z + x^2 - y^3) = x :
partial Fypartial x = partialpartial x (x y z + y^2 + 23 x^3) = y z + 2x^2
O rotacional partial Fxpartial y = partialpartial y (x z + x^2 - y^3) = -3y^2 é dado por:
nabla times F = (-2y - x y) i - (x - x) j + (y z + 2x^2 + 3y^2) k
Calculando cada componente:
= (-2y - x y) i + 0 j + (y z + 2x^2 + 3y^2) k
Então,

Passo 7

Agora, precisamos escolher uma superfície n = 1raiz3 (1, 1, 1) limitada por integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = 1raiz3 integral duplaS (-2y - x y) + 0 + (y z + 2x^2 + 3y^2) , dS . Uma escolha conveniente é o disco no cilindro dentro do plano .
Vamos determinar o vetor normal . O plano tem vetor normal . Para simplificar, vamos normalizar:
Agora, a integral de superfície fica:

Passo 8

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(-2y - x y) + (y z + 2x^2 + 3y^2) = -2y - x y + y z + 2x^2 + 3y^2
Agora, lembrando que no plano y z = y (2 - x - y) = 2y - x y - y^2 :
-2y - x y + 2y - x y - y^2 + 2x^2 + 3y^2 = -2y + 2y - 2x y - y^2 + 2x^2 + 3y^2 = -2x y + 2x^2 + 2y^2
Substituindo na expressão:
1raiz3 integral duplaS (2x^2 - 2x y + 2y^2) , dS
Então, a integral fica:

Passo 9

Para calcular a integral sobre a superfície x = r cos theta , podemos usar coordenadas polares, já que estamos lidando com um cilindro y = r sin theta .
Em coordenadas polares:
Como o cilindro é , varia de a e de a .
Além disso, no plano , mas como estamos integrando no plano, já está expresso em termos de e .
A área diferencial em coordenadas polares é .

Passo 10

Substituindo 2x^2 - 2x y + 2y^2 = 2r^2 cos^2 theta - 2r^2 cos theta sin theta + 2r^2 sin^2 theta = 2r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) - 2r^2 cos theta sin theta = 2r^2 - 2r^2 cos theta sin theta e 1raiz3 integral0^2pi integral0^1 (2r^2 - 2r^2 cos theta sin theta) r , dr , dtheta = 1raiz3 integral0^2pi integral0^1 (2r^3 - 2r^3 cos theta sin theta) dr , dtheta na integral:
Então, a integral fica:

Passo 11

Vamos integrar em relação a integral0^1 2r^3 , dr = 24 r^4 |0^1 = 12 :
integral0^1 -2r^3 cos theta sin theta , dr = -2 cos theta sin theta integral0^1 r^3 , dr = -2 cos theta sin theta cdot 14 = -12 cos theta sin theta
1raiz3 ( 12 integral0^2pi dtheta - 12 integral0^2pi cos theta sin theta , dtheta )
Então, a integral se torna:

Passo 12

Agora, vamos calcular as integrais em integral0^2pi dtheta = 2pi :
integral0^2pi cos theta sin theta , dtheta
cos theta sin theta = 12 sin 2theta
Para a segunda integral, podemos usar uma identidade trigonométrica:
integral0^2pi cos theta sin theta , dtheta = 12 integral0^2pi sin 2theta , dtheta = 12 [ -12 cos 2theta ]0^2pi = 0
Então,
1raiz3 ( 12 cdot 2pi - 12 cdot 0 ) = 1raiz3 cdot pi = piraiz3
Portanto, a integral total é:

Resposta

O valor da integral é .

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