onde é a curva de intersecão do plano com o cilindro , e orientada no sentido positivo, quando vista de cima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos que calcular uma integral de linha sobre uma curva . A curva é a interseção de um plano com um cilindro . A integral envolve uma função vetorial com componentes em , e .
Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e então calcular a integral usando essa parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva . Sabemos que é a interseção do plano com o cilindro .
Como o cilindro é definido por , podemos usar coordenadas polares para facilitar. Vamos definir:
onde varia de a para percorrer toda a circunferência. Agora, usando a equação do plano para encontrar :
Então, a parametrização da curva fica:
com indo de a .
Passo 3
Agora que temos a parametrização, precisamos encontrar as derivadas em relação a para , e :
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos substituir , , , , e na integral original:
Substituindo os valores parametrizados:
Passo 5
Agora, vamos simplificar cada parte da integral:
Primeira parte:
Expandindo:
Segunda parte:
Expandindo:
Terceira parte:
Expandindo e simplificando:
Nota: A simplificação completa envolve muitos termos e integrais, que podem ser bastante trabalhosos. Em muitos casos, especialmente com integrais fechadas, é mais eficiente usar teoremas como o de Stokes para simplificar o cálculo.
Passo 6
Vamos usar o Teorema de Stokes para simplificar nossa vida! O teorema de Stokes relaciona a integral de uma função vetorial ao longo de uma curva fechada com a integral da sua rotacional sobre uma superfície limitada por :
Onde é o vetor normal à superfície .
Primeiro, vamos calcular o rotacional de :
O rotacional é dado por:
Calculando cada componente:
Então,
Passo 7
Agora, precisamos escolher uma superfície limitada por . Uma escolha conveniente é o disco no cilindro dentro do plano .
Vamos determinar o vetor normal . O plano tem vetor normal . Para simplificar, vamos normalizar:
Agora, a integral de superfície fica:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, lembrando que no plano :
Substituindo na expressão:
Então, a integral fica:
Passo 9
Para calcular a integral sobre a superfície , podemos usar coordenadas polares, já que estamos lidando com um cilindro .
Em coordenadas polares:
Como o cilindro é , varia de a e de a .
Além disso, no plano , mas como estamos integrando no plano, já está expresso em termos de e .
A área diferencial em coordenadas polares é .
Passo 10
Substituindo e na integral:
Então, a integral fica:
Passo 11
Vamos integrar em relação a :
Então, a integral se torna:
Passo 12
Agora, vamos calcular as integrais em :
Para a segunda integral, podemos usar uma identidade trigonométrica: