Calcule
onde é a curva de intersecão do plano com o cilindro , e orientada no sentido positivo, quando vista de cima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos que calcular uma integral de linha sobre uma curva . A curva é a interseção de um plano com um cilindro . A integral envolve uma função vetorial com componentes em , e .
Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e então calcular a integral usando essa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Sabemos que é a interseção do plano com o cilindro .
Como o cilindro é definido por , podemos usar coordenadas polares para facilitar. Vamos definir:
onde varia de a para percorrer toda a circunferência. Agora, usando a equação do plano para encontrar :
Então, a parametrização da curva fica:
com indo de a .

Passo 3

Agora que temos a parametrização, precisamos encontrar as derivadas em relação a para , e :
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos substituir , , , , e na integral original:
Substituindo os valores parametrizados:

Passo 5

Agora, vamos simplificar cada parte da integral:
Primeira parte:
Expandindo:
Segunda parte:
Expandindo:
Terceira parte:
Expandindo e simplificando:
ã
Nota: A simplificação completa envolve muitos termos e integrais, que podem ser bastante trabalhosos. Em muitos casos, especialmente com integrais fechadas, é mais eficiente usar teoremas como o de Stokes para simplificar o cálculo.

Passo 6

Vamos usar o Teorema de Stokes para simplificar nossa vida! O teorema de Stokes relaciona a integral de uma função vetorial ao longo de uma curva fechada com a integral da sua rotacional sobre uma superfície limitada por :
Onde é o vetor normal à superfície .
Primeiro, vamos calcular o rotacional de :
O rotacional é dado por:
Calculando cada componente:
Então,

Passo 7

Agora, precisamos escolher uma superfície limitada por . Uma escolha conveniente é o disco no cilindro dentro do plano .
Vamos determinar o vetor normal . O plano tem vetor normal . Para simplificar, vamos normalizar:
Agora, a integral de superfície fica:

Passo 8

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, lembrando que no plano :
Substituindo na expressão:
Então, a integral fica:

Passo 9

Para calcular a integral sobre a superfície , podemos usar coordenadas polares, já que estamos lidando com um cilindro .
Em coordenadas polares:
Como o cilindro é , varia de a e de a .
Além disso, no plano , mas como estamos integrando no plano, já está expresso em termos de e .
A área diferencial em coordenadas polares é .

Passo 10

Substituindo e na integral:
Então, a integral fica:

Passo 11

Vamos integrar em relação a :
Então, a integral se torna:

Passo 12

Agora, vamos calcular as integrais em :
Para a segunda integral, podemos usar uma identidade trigonométrica:
Então,
Portanto, a integral total é:

Resposta

O valor da integral é .

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Esboçe o sólido cujo volume é dado pela integral
Calcule o fluxo de através de , onde
e é a superfície do sólido delimitado pelo paraboloide e pelo plano .
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