Determine a área da parte da superfície z = x y. que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a área da parte da superfície definida por que está dentro do cilindro . Isso envolve cálculos de área de superfícies em geometria multivariada, usando integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, para calcular a área de uma superfície , usamos a fórmula da área de superfície:
Aqui, é a região no plano limitada pelo cilindro .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Substituindo na fórmula da área:

Passo 4

Para facilitar a integração, é melhor mudar para coordenadas polares, onde:
E a área diferencial em coordenadas polares é . A equação do cilindro vira , então vai de 0 até e varia de 0 a .

Passo 5

Substituindo na integral:
A gente pode separar as integrais:
A primeira integral dá .

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda integral. Fazendo a substituição , então , ou seja, . Assim:
Voltando para :

Passo 7

Multiplicando pelas partes separadas:

Resposta

A área da parte da superfície dentro do cilindro é .

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