Determine a área da parte da superfície . que está dentro do cilindro .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a área da parte da superfície definida por que está dentro do cilindro . Isso envolve cálculos de área de superfícies em geometria multivariada, usando integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, para calcular a área de uma superfície , usamos a fórmula da área de superfície:
Aqui, é a região no plano limitada pelo cilindro .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Substituindo na fórmula da área:
Passo 4
Para facilitar a integração, é melhor mudar para coordenadas polares, onde:
E a área diferencial em coordenadas polares é . A equação do cilindro vira , então vai de 0 até e varia de 0 a .
Passo 5
Substituindo na integral:
A gente pode separar as integrais:
A primeira integral dá .
Passo 6
Agora, vamos resolver a segunda integral. Fazendo a substituição , então , ou seja, . Assim:
Voltando para :
Passo 7
Multiplicando pelas partes separadas:
Resposta
A área da parte da superfície dentro do cilindro é .