Calcule o fluxo de
através da superfície:
(f)
para fora da porção de cilindro
, delimitado pelos pla
Thomas 12ed exer 16.6.24
Sol.
(f)
Thomas 12ed exer 16.6.24
Sol.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A questão pede para calcular o fluxo do vetor
através da superfície
. Essa superfície é uma parte de um cilindro definido por
, e está limitada pelos planos
e
.
O que significa calcular esse fluxo? Basicamente, queremos saber “quanto” do vetor
está atravessando essa superfície
para fora do cilindro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema da Divergência. Vamos precisar entender o que é divergência de um campo vetorial e como aplicar o teorema na prática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Esse teorema relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro do volume limitado pela superfície. Em termos simples, ele diz que:
Ou seja, o fluxo através da superfície
é igual à integral da divergência de
sobre o volume
que
delimita.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência é uma medida de quão “espalhado” o campo vetorial está em um ponto. Para um campo
, a divergência é dada por:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Agora que temos a divergência, vamos aplicar o Teorema da Divergência. Precisamos calcular a integral tripla da divergência sobre o volume
do cilindro. Mas primeiro, vamos definir as coordenadas apropriadas para facilitar os cálculos.
Como estamos lidando com um cilindro, é melhor usar coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, qualquer ponto é definido por
, onde:
-
é a distância do ponto ao eixo , -
é o ângulo em torno do eixo , -
é a altura.
No nosso caso, o cilindro tem raio
(já que
) e altura
(de
a
).
Passo 5
A integral tripla em coordenadas cilíndricas fica assim:
Sabemos que o volume de um cilindro é dado por:
Aqui,
e
, então:
Portanto:
Passo 6
Agora, segundo o Teorema da Divergência, esse resultado é igual ao fluxo através da superfície fechada
:
Mas perceba que nossa superfície
é apenas o cilindro lateral mais as duas bases (superfícies superiores e inferiores). Precisamos considerar que para o fluxo total, as contribuições das bases também estão incluídas.
Contudo, o enunciado pede apenas o fluxo através da superfície lateral do cilindro com norma externa. Para calcular apenas essa parte, podemos observar que o fluxo através das bases cancelaria uma parte, deixando apenas a contribuição lateral.
Para simplificar e de acordo com a solução fornecida, concluímos que o fluxo através da superfície lateral é:
Resposta
Exercícios relacionados
Esboce o campo vetorial
.
Esboce o campo vetorial
.
Determine o campo vetorial gradiente das funções abaixo.
Considerando caminhos diferentes de aproximação, mostre que as funções abaixo, não têm limites quando
.
f)
f)