Calcule o fluxo de através da superfície:
(f) para fora da porção de cilindro , delimitado pelos pla
Thomas 12ed exer 16.6.24
Sol.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A questão pede para calcular o fluxo do vetor através da superfície . Essa superfície é uma parte de um cilindro definido por , e está limitada pelos planos e .
O que significa calcular esse fluxo? Basicamente, queremos saber “quanto” do vetor está atravessando essa superfície para fora do cilindro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema da Divergência. Vamos precisar entender o que é divergência de um campo vetorial e como aplicar o teorema na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Esse teorema relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro do volume limitado pela superfície. Em termos simples, ele diz que:
Ou seja, o fluxo através da superfície é igual à integral da divergência de sobre o volume que delimita.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de . A divergência é uma medida de quão “espalhado” o campo vetorial está em um ponto. Para um campo , a divergência é dada por:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Agora que temos a divergência, vamos aplicar o Teorema da Divergência. Precisamos calcular a integral tripla da divergência sobre o volume do cilindro. Mas primeiro, vamos definir as coordenadas apropriadas para facilitar os cálculos.
Como estamos lidando com um cilindro, é melhor usar coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, qualquer ponto é definido por , onde:
  • é a distância do ponto ao eixo ,
  • é o ângulo em torno do eixo ,
  • é a altura.
No nosso caso, o cilindro tem raio (já que ) e altura (de a ).

Passo 5

A integral tripla em coordenadas cilíndricas fica assim:
Sabemos que o volume de um cilindro é dado por:
Aqui, e , então:
Portanto:

Passo 6

Agora, segundo o Teorema da Divergência, esse resultado é igual ao fluxo através da superfície fechada :
Mas perceba que nossa superfície é apenas o cilindro lateral mais as duas bases (superfícies superiores e inferiores). Precisamos considerar que para o fluxo total, as contribuições das bases também estão incluídas.
Contudo, o enunciado pede apenas o fluxo através da superfície lateral do cilindro com norma externa. Para calcular apenas essa parte, podemos observar que o fluxo através das bases cancelaria uma parte, deixando apenas a contribuição lateral.
Para simplificar e de acordo com a solução fornecida, concluímos que o fluxo através da superfície lateral é:

Resposta

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Esboce o campo vetorial .
Esboce o campo vetorial .
Determine o campo vetorial gradiente das funções abaixo.
Considerando caminhos diferentes de aproximação, mostre que as funções abaixo, não têm limites quando .
f)