Considerando caminhos diferentes de aproximação, mostre que as funções abaixo, não têm limites quando .
f)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função não tem limite quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos usar o conceito de limite de funções de duas variáveis e analisar diferentes caminhos de aproximação para ver se o limite depende do caminho escolhido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que uma função de duas variáveis não tem limite quando . Isso acontece quando, dependendo de como a gente se aproxima de , o valor da função tende a diferentes números. Então, se encontrarmos dois caminhos diferentes que dão resultados distintos para a função, já mostramos que o limite não existe.

Passo 3

Vamos escolher dois caminhos simples para nos aproximarmos de :
  1. Caminho 1: Ao longo do eixo y, ou seja, fixando .
  2. Caminho 2: Ao longo da linha y = 0, ou seja, fixando .

Passo 4

Caminho 1: Fixando
Substituindo na função:
Então, conforme , .

Passo 5

Caminho 2: Fixando
Substituindo na função:
Então, conforme , .

Passo 6

Observamos que ao nos aproximarmos de pelo Caminho 1, o limite da função é 1, enquanto pelo Caminho 2, o limite é 0. Como esses limites são diferentes, isso mostra que o limite não é o mesmo para todos os caminhos de aproximação.

Resposta

Portanto, a função não possui limite quando , pois o valor do limite depende do caminho seguido para chegar ao ponto .

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