Considerando caminhos diferentes de aproximação, mostre que as funções abaixo, não têm limites quando
.
f)
f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função
não tem limite quando
se aproxima de
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de limite de funções de duas variáveis e analisar diferentes caminhos de aproximação para ver se o limite depende do caminho escolhido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que uma função de duas variáveis não tem limite quando
. Isso acontece quando, dependendo de como a gente se aproxima de
, o valor da função tende a diferentes números. Então, se encontrarmos dois caminhos diferentes que dão resultados distintos para a função, já mostramos que o limite não existe.
Passo 3
Vamos escolher dois caminhos simples para nos aproximarmos de
:
- Caminho 1: Ao longo do eixo y, ou seja, fixando
. - Caminho 2: Ao longo da linha y = 0, ou seja, fixando
.
Passo 4
Caminho 1: Fixando
Substituindo
na função:
Então, conforme
,
.
Passo 5
Caminho 2: Fixando
Substituindo
na função:
Então, conforme
,
.
Passo 6
Observamos que ao nos aproximarmos de
pelo Caminho 1, o limite da função é 1, enquanto pelo Caminho 2, o limite é 0. Como esses limites são diferentes, isso mostra que o limite não é o mesmo para todos os caminhos de aproximação.
Resposta
Portanto, a função
não possui limite quando
, pois o valor do limite depende do caminho seguido para chegar ao ponto
.
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Determine o campo vetorial gradiente das funções abaixo.
Calcule o fluxo de
através da superfície:
(f) para fora da porção de cilindro
, delimitado pelos pla
Thomas 12ed exer 16.6.24
Sol.
(f)
Thomas 12ed exer 16.6.24
Sol.
Determine o campo vetorial gradiente das funções abaixo.
Calcule a integral de linha
onde
é dada pela função vetorial
.