Determine o campo vetorial gradiente das funções abaixo.
Passo 1
Beleza! A gente precisa encontrar o campo vetorial gradiente da função
. Isso está relacionado com o cálculo de derivadas parciais, que é uma parte importante do cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar saber como calcular as derivadas parciais de uma função em relação a cada uma das variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função
é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. Ele é dado por:
Então, nosso objetivo é calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Para derivar a raiz quadrada, usamos a regra da cadeia. Sabemos que:
Aplicando isso:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Usando novamente a regra da cadeia:
Aplicando isso:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais, podemos montar o vetor gradiente:
Resposta
O campo vetorial gradiente da função
é:
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Calcule o fluxo de
através da superfície:
(f) para fora da porção de cilindro
, delimitado pelos pla
Thomas 12ed exer 16.6.24
Sol.
(f)
Thomas 12ed exer 16.6.24
Sol.
Esboce o campo vetorial
.
Considerando caminhos diferentes de aproximação, mostre que as funções abaixo, não têm limites quando
.
f)
f)
Determine o campo vetorial gradiente das funções abaixo.