Determine o campo vetorial gradiente das funções abaixo.

Passo 1

Beleza! A gente precisa encontrar o campo vetorial gradiente da função . Isso está relacionado com o cálculo de derivadas parciais, que é uma parte importante do cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar saber como calcular as derivadas parciais de uma função em relação a cada uma das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. Ele é dado por:
Então, nosso objetivo é calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a :
Para derivar a raiz quadrada, usamos a regra da cadeia. Sabemos que:
Aplicando isso:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Usando novamente a regra da cadeia:
Aplicando isso:

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, podemos montar o vetor gradiente:

Resposta

O campo vetorial gradiente da função é:

Exercícios relacionados

Calcule o fluxo de através da superfície:
(f) para fora da porção de cilindro , delimitado pelos pla
Thomas 12ed exer 16.6.24
Sol.
Esboce o campo vetorial .
Considerando caminhos diferentes de aproximação, mostre que as funções abaixo, não têm limites quando .
f)
Determine o campo vetorial gradiente das funções abaixo.