Esboce o gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa esboçar o gráfico da função . Isso envolve entender um pouco de trigonometria, especialmente sobre funções seno e suas transformações. Vamos precisar identificar a amplitude, o período, o deslocamento e outras características para desenhar o gráfico certinho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é o gráfico da função seno básica, . Ela oscila entre -1 e 1, com um período de . O que muda na nossa função são os coeficientes e os termos dentro do seno, que vão modificar essa forma básica.

Passo 3

Agora, vamos analisar os coeficientes na função :
  • Amplitude: É o valor que determina o “tamanho” das oscilações da função. No nosso caso, a amplitude é 4, que vem do coeficiente em frente ao seno. Isso significa que a função vai oscilar 4 unidades para cima e para baixo a partir do ponto central.
  • Período: É o intervalo necessário para a função completar uma oscilação completa. É calculado pela fórmula , onde é o coeficiente de .
    í
  • Deslocamento Horizontal (Fase): É como a função é “empurrada” para a esquerda ou para a direita. Vem do termo . Para encontrar o deslocamento, usamos .
  • Deslocamento Vertical: É o quanto a função é movida para cima ou para baixo. Aqui, temos um +6, então a função inteira vai subir 6 unidades.

Passo 4

Com essas informações, vamos montar o gráfico passo a passo:
  1. Centro do Gráfico: Como há um deslocamento vertical de 6, o eixo central da função será .
  2. Amplitude: A função vai variar 4 unidades para cima e para baixo desse centro. Então, os valores máximos e mínimos serão e , respectivamente.
  3. Período: O período é , então cada ciclo completo do seno vai ocupar esse intervalo no eixo .
  4. Deslocamento Horizontal: A função está deslocada unidades para a direita.
  5. Reflexão: Note que temos um sinal negativo na frente do seno, o que faz a função ser refletida em relação ao eixo .

Passo 5

Vamos resumir tudo para desenhar o gráfico:
  • Começamos com o eixo central em .
  • A função oscilará entre 2 e 10 devido à amplitude de 4.
  • Cada ciclo completo do gráfico ocupará unidades no eixo .
  • O gráfico estará deslocado unidades para a direita.
  • Devido à reflexão, o pico das ondas será invertido.

Resposta

O gráfico de é uma função senoida com amplitude 4, período , deslocamento horizontal unidades para a direita e deslocamento vertical 6 unidades para cima, refletida em relação ao eixo .

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