Determine todos os ângulos theta que satisfazem sen(theta) = -raiz(2)/2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar todos os ângulos que satisfazem . Vamos usar conceitos de trigonometria, especificamente sobre a função seno e como ela se comporta no círculo trigonométrico. Para resolver isso, vamos precisar entender os quadrantes onde o seno é negativo e os ângulos de referência relacionados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função seno representa a coordenada y de um ponto no círculo trigonométrico. O valor de indica que estamos procurando por ângulos onde essa coordenada y é igual a .

Passo 3

Sabemos que é o seno de ou radianos. Como o valor é negativo, estamos interessados nos quadrantes onde o seno é negativo, que são o terceiro e o quarto quadrantes.

Passo 4

No terceiro quadrante, o ângulo correspondente é . No quarto quadrante, é . Portanto, os ângulos de referência que satisfazem a equação são e .

Passo 5

Como a função seno é periódica com período de , podemos adicionar múltiplos de a esses ângulos para encontrar todos os possíveis que satisfazem a equação.

Passo 6

Assim, a solução geral para a equação é:
onde é qualquer número inteiro.

Resposta

Todos os ângulos que satisfazem são:
para todo inteiro .

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