Calcule o fluxo de através da superfície:
© a través da superfície , no primeiro octante na direção que se afasta da origem.
Thomas 12ed exer 16.6.21
Sol.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. A superfície é parte da esfera que está no primeiro octante (ou seja, onde , e são positivos) e a direção do fluxo é para fora da origem. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é fluxo e como aplicar o teorema de Gauss.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanto do campo está “passando” por essa superfície. Matematicamente, é dado por , onde é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Agora, para calcular esse fluxo, vamos usar o teorema da divergência (ou teorema de Gauss), que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com o volume que ela encerra. O teorema diz que:
Aqui, é a divergência do campo vetorial .

Passo 4

Vamos calcular a divergência de . A divergência em coordenadas cartesianas é:
No nosso caso, , e . Então:

Passo 5

Com a divergência sendo 1, a integral de volume fica simples. Agora, precisamos calcular o volume do primeiro octante da esfera de raio . O volume total da esfera é , então o volume no primeiro octante é disso:

Resposta

Portanto, o fluxo de através da superfície é .

Exercícios relacionados

Encontre um conjunto fundamental de soluções reais para os seguintes sistema abaixo:
a.
Encontre a solução geral de cada uma das seguintes equações.
Resolva os problemas de valor inicial.
.
Encontre a área das superfícies definidas de forma explicita e implícita
(d) Encontrar a área da superfície que está sobre o quadrado definido por e .
Thomas 12ed exer 16.5.48
Sol.