Calcule o fluxo de f através da superfície: integral duplaS f cdot n d S
© f=z k a través da superfície x^2+y^2+z^2= a^2, no primeiro octante na direção que se afasta da origem.
Thomas 12ed exer 16.6.21
Sol. pi a / 6

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é calcular o fluxo de um campo vetorial f = z k através de uma superfície. A superfície é parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = a^2 que está no primeiro octante (ou seja, onde x, y e z são positivos) e a direção do fluxo é para fora da origem. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é fluxo e como aplicar o teorema de Gauss.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanto do campo está “passando” por essa superfície. Matematicamente, é dado por integral duplaS f cdot n , dS, onde n é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Agora, para calcular esse fluxo, vamos usar o teorema da divergência (ou teorema de Gauss), que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com o volume que ela encerra. O teorema diz que:
integral duplaS f cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot f , dV
Aqui, nabla cdot f é a divergência do campo vetorial f.

Passo 4

Vamos calcular a divergência de f = z k. A divergência em coordenadas cartesianas é:
nabla cdot f = partial fxpartial x + partial fypartial y + partial fzpartial z
No nosso caso, fx = 0, fy = 0 e fz = z. Então:
nabla cdot f = 0 + 0 + partial zpartial z = 1

Passo 5

Com a divergência sendo 1, a integral de volume fica simples. Agora, precisamos calcular o volume do primeiro octante da esfera de raio a. O volume total da esfera é 43 pi a^3, então o volume no primeiro octante é 18 disso:
V = 18 times 43 pi a^3 = pi a^36

Resposta

Portanto, o fluxo de f através da superfície é pi a6.

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