Calcule o fluxo de
através da superfície:
©
a través da superfície
, no primeiro octante na direção que se afasta da origem.
Thomas 12ed exer 16.6.21
Sol.
©
Thomas 12ed exer 16.6.21
Sol.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é calcular o fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície. A superfície é parte da esfera
que está no primeiro octante (ou seja, onde
,
e
são positivos) e a direção do fluxo é para fora da origem. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é fluxo e como aplicar o teorema de Gauss.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanto do campo está “passando” por essa superfície. Matematicamente, é dado por
, onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Agora, para calcular esse fluxo, vamos usar o teorema da divergência (ou teorema de Gauss), que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com o volume que ela encerra. O teorema diz que:
Aqui,
é a divergência do campo vetorial
.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
. A divergência em coordenadas cartesianas é:
No nosso caso,
,
e
. Então:
Passo 5
Com a divergência sendo 1, a integral de volume fica simples. Agora, precisamos calcular o volume do primeiro octante da esfera de raio
. O volume total da esfera é
, então o volume no primeiro octante é
disso:
Resposta
Portanto, o fluxo de
através da superfície é
.
Exercícios relacionados
Encontre um conjunto fundamental de soluções reais para os seguintes sistema abaixo:
a.
a.
Encontre a solução geral de cada uma das seguintes equações.
Resolva os problemas de valor inicial.
.
Encontre a área das superfícies definidas de forma explicita e implícita
(d) Encontrar a área da superfície
que está sobre o quadrado definido por
e
.
Thomas 12ed exer 16.5.48
Sol.
(d) Encontrar a área da superfície
Thomas 12ed exer 16.5.48
Sol.