Encontre um conjunto fundamental de soluções reais para os seguintes sistema abaixo:
a. x' = ( -1/2 1 ; 1 -1/2 ) x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais juntos! O exercício pede para encontrar um conjunto fundamental de soluções reais para o sistema dado. Isso está relacionado ao estudo de sistemas lineares de equações diferenciais, onde a gente precisa encontrar soluções que descrevem como o sistema se comporta ao longo do tempo. Para resolver, vamos precisar encontrar os valores próprios (autovalores) e os autovetores da matriz que acompanha o sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Para isso, resolvemos a equação característica: , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 3

Calculando :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 4

Resolvemos a equaç��o quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Então:
Isso nos dá dois autovalores:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá a equação , ou seja, . Podemos escolher , então o autovetor é .
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá a equação , ou seja, . Escolhendo , temos .

Passo 6

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever as soluções gerais do sistema. Cada solução tem a forma:
Portanto, temos:
Para :
Para :

Resposta

Um conjunto fundamental de soluções reais para o sistema é:

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