Encontre um conjunto fundamental de soluções reais para os seguintes sistema abaixo:
a.
a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais juntos! O exercício pede para encontrar um conjunto fundamental de soluções reais para o sistema dado. Isso está relacionado ao estudo de sistemas lineares de equações diferenciais, onde a gente precisa encontrar soluções que descrevem como o sistema se comporta ao longo do tempo. Para resolver, vamos precisar encontrar os valores próprios (autovalores) e os autovetores da matriz que acompanha o sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Para isso, resolvemos a equação característica:
, onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores.
Passo 3
Calculando
:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 4
Resolvemos a equaç��o quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Então:
Isso nos dá dois autovalores:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para
:
Resolvemos :
Resolvemos
Isso nos dá a equação
, ou seja,
. Podemos escolher
, então o autovetor é
.
Para
:
Resolvemos :
Resolvemos
Isso nos dá a equação
, ou seja,
. Escolhendo
, temos
.
Passo 6
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever as soluções gerais do sistema. Cada solução tem a forma:
Portanto, temos:
Para
:
Para
:
Resposta
Um conjunto fundamental de soluções reais para o sistema é:
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral de cada uma das seguintes equações.
Resolva os problemas de valor inicial.
Calcule o fluxo de
através da superfície:
© a través da superfície
, no primeiro octante na direção que se afasta da origem.
Thomas 12ed exer 16.6.21
Sol.
©
Thomas 12ed exer 16.6.21
Sol.
Resolva os problemas de valor inicial.
.