Encontre a solução geral de cada uma das seguintes equações.
d^2y/dt^2 - 6dy/dt + 9y = 0

Passo 1

Beleza! A gente tem que encontrar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem:
Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de ordem superior. Para resolver, vamos usar as soluções características, que envolvem encontrar as raízes da equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, a gente monta a equação característica da equação diferencial. Substituímos por , por e por 1. Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos fatorar:
Então, temos duas raízes iguais: .

Passo 4

Como a equação característica tem raízes reais e iguais ( ), a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo , fica:
onde e são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação é:

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