Resolva os problemas de valor inicial.
9 d^2y/dt^2 + 6 dy/dt + y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
E as condições iniciais são:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar a equação característica e aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes da solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica da equação diferencial. Para uma equação da forma:
A equação característica é:
No nosso caso, temos , e . Então, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r. A gente usa a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Então, temos duas raízes iguais: .

Passo 4

Quando a equação característica tem raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial fica assim:
Aqui, e são constantes que a gente precisa determinar usando as condições iniciais, e r é a raiz encontrada, que no nosso caso é -1/3.
Então, a solução geral é:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeiro, usamos y(0) = 1:
Então, já sabemos que .

Passo 6

Em seguida, precisamos usar a segunda condição inicial, que envolve a derivada da função: .
Primeiro, vamos encontrar a derivada de y(t):
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Agora, aplicamos :
Resolvendo para :

Resposta

Substituindo e na solução geral, temos:

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