Resolva os problemas de valor inicial.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
E as condições iniciais são:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar a equação característica e aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes da solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica da equação diferencial. Para uma equação da forma:
A equação característica é:
No nosso caso, temos
,
e
. Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. A gente usa a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Então, temos duas raízes iguais:
.
Passo 4
Quando a equação característica tem raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial fica assim:
Aqui,
e
são constantes que a gente precisa determinar usando as condições iniciais, e
é a raiz encontrada, que no nosso caso é
.
Então, a solução geral é:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, usamos
:
Então, já sabemos que
.
Passo 6
Em seguida, precisamos usar a segunda condição inicial, que envolve a derivada da função:
.
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
:
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Agora, aplicamos
:
Resolvendo para
:
Resposta
Substituindo
e
na solução geral, temos: