Resolva os problemas de valor inicial.
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
E as condições iniciais são:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar a equação característica e aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes da solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica da equação diferencial. Para uma equação da forma:
A equação característica é:
No nosso caso, temos , e . Então, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . A gente usa a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Então, temos duas raízes iguais: .

Passo 4

Quando a equação característica tem raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial fica assim:
Aqui, e são constantes que a gente precisa determinar usando as condições iniciais, e é a raiz encontrada, que no nosso caso é .
Então, a solução geral é:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeiro, usamos :
Então, já sabemos que .

Passo 6

Em seguida, precisamos usar a segunda condição inicial, que envolve a derivada da função: .
Primeiro, vamos encontrar a derivada de :
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Agora, aplicamos :
Resolvendo para :

Resposta

Substituindo e na solução geral, temos:

Exercícios relacionados

Calcule o fluxo de através da superfície:
© a través da superfície , no primeiro octante na direção que se afasta da origem.
Thomas 12ed exer 16.6.21
Sol.
Encontre um conjunto fundamental de soluções reais para os seguintes sistema abaixo:
a.
Encontre a área das superfícies definidas de forma explicita e implícita
(d) Encontrar a área da superfície que está sobre o quadrado definido por e .
Thomas 12ed exer 16.5.48
Sol.
Calcule a integral, , do campo escalar , sobre as superfícies
(g) , sobre o cubo que está no primeiro octante delimitado pelos planos
Thomas 12ed exer 16.6.9
Sol.