Calcule o fluxo de através da superfície:
(l) Use a lei de Gauss para determinar a carga dentro de um cubo com vértices , se o campo elétrico é .
Stweard 5ed exer 16.7.42
Sol.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o fluxo do campo elétrico através da superfície de um cubo com vértices em usando a Lei de Gauss. A matéria envolvida aqui é Eletrostática, especificamente a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga elétrica dentro dessa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo elétrico. É uma medida de quantas linhas de campo passam através de uma superfície. A fórmula geral para o fluxo elétrico é:
Onde:
  • é o fluxo elétrico,
  • é o campo elétrico,
  • é o vetor normal à superfície,
  • é um elemento de área da superfície .

Passo 3

A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo :
Logo, podemos usar essa relação para encontrar a carga dentro do cubo.

Passo 4

Vamos agora calcular o fluxo usando a definição do fluxo elétrico. Como o campo elétrico dado é e o cubo é centrado na origem com vértices em , precisamos integrar cada componente do campo através das faces do cubo.

Passo 5

Vamos calcular o fluxo através de cada par de faces do cubo:
  1. Faces paralelas ao plano (x = ±1):
    • Para :
    • Para :
    • A área de cada face é
    • Fluxo total dessas faces:
  2. Faces paralelas ao plano (y = ±1):
    • Para :
    • Para :
    • A área de cada face é
    • Fluxo total dessas faces:
  3. Faces paralelas ao plano (z = ±1):
    • Para :
    • Para :
    • A área de cada face é
    • Fluxo total dessas faces:

Passo 6

Somando todos os fluxos das seis faces, temos:
Isso sugere que a carga total dentro do cubo é zero. No entanto, devemos considerar que o campo elétrico é um campo divergente.

Passo 7

Para encontrar a carga interna usando a Lei de Gauss, podemos utilizar a divergência do campo elétrico. A divergência de é:
A Lei de Gauss em termos de divergência é:

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral de volume da divergência:
O volume do cubo com aresta de comprimento (de a em cada direção) é:
Então,
Logo,

Resposta

A carga dentro do cubo é .

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