Calcule o fluxo de
através da superfície:
(l) Use a lei de Gauss para determinar a carga dentro de um cubo com vértices
, se o campo elétrico é
.
Stweard 5ed exer 16.7.42
Sol.
(l) Use a lei de Gauss para determinar a carga dentro de um cubo com vértices
Stweard 5ed exer 16.7.42
Sol.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o fluxo do campo elétrico
através da superfície de um cubo com vértices em
usando a Lei de Gauss. A matéria envolvida aqui é Eletrostática, especificamente a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga elétrica dentro dessa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo elétrico. É uma medida de quantas linhas de campo passam através de uma superfície. A fórmula geral para o fluxo elétrico é:
Onde:
-
é o fluxo elétrico, -
é o campo elétrico, -
é o vetor normal à superfície, -
é um elemento de área da superfície .
Passo 3
A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total
dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo
:
Logo, podemos usar essa relação para encontrar a carga dentro do cubo.
Passo 4
Vamos agora calcular o fluxo usando a definição do fluxo elétrico. Como o campo elétrico dado é
e o cubo é centrado na origem com vértices em
, precisamos integrar cada componente do campo através das faces do cubo.
Passo 5
Vamos calcular o fluxo através de cada par de faces do cubo:
-
Faces paralelas ao plano
(x = ±1): - Para
: - Para
: - A área de cada face é
- Fluxo total dessas faces:
- Para
-
Faces paralelas ao plano
(y = ±1): - Para
: - Para
: - A área de cada face é
- Fluxo total dessas faces:
- Para
-
Faces paralelas ao plano
(z = ±1): - Para
: - Para
: - A área de cada face é
- Fluxo total dessas faces:
- Para
Passo 6
Somando todos os fluxos das seis faces, temos:
Isso sugere que a carga total dentro do cubo é zero. No entanto, devemos considerar que o campo elétrico
é um campo divergente.
Passo 7
Para encontrar a carga interna usando a Lei de Gauss, podemos utilizar a divergência do campo elétrico. A divergência de
é:
A Lei de Gauss em termos de divergência é:
Passo 8
Agora, vamos calcular a integral de volume da divergência:
O volume do cubo com aresta de comprimento
(de
a
em cada direção) é:
Então,
Logo,
Resposta
A carga dentro do cubo é
.
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Determine o campo vetorial gradiente das funções abaixo.
Determine o trabalho realizado pela força constante
para deslocar uma partícula ao longo da reta
, do ponto
a
.
Obtenha
para
.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
k)
k)