Calcule o fluxo de f através da superfície: integral duplaS f cdot n d S
(l) Use a lei de Gauss para determinar a carga dentro de um cubo com vértices ( pm 1, pm 1, pm 1), se o campo elétrico é E= x i+y j+z k.
Stweard 5ed exer 16.7.42
Sol. 24 epsilon0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o fluxo do campo elétrico E = x i + y j + z k através da superfície de um cubo com vértices em (pm 1, pm 1, pm 1) usando a Lei de Gauss. A matéria envolvida aqui é Eletrostática, especificamente a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga elétrica dentro dessa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo elétrico. É uma medida de quantas linhas de campo passam através de uma superfície. A fórmula geral para o fluxo elétrico é:
Phi = integral duplaS E cdot n , dS
Onde:
  • Phi é o fluxo elétrico,
  • E é o campo elétrico,
  • n é o vetor normal à superfície,
  • dS é um elemento de área da superfície S.

Passo 3

A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total Qdentro dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo epsilon0:
Phi = Qdentroepsilon0
Logo, podemos usar essa relação para encontrar a carga dentro do cubo.

Passo 4

Vamos agora calcular o fluxo usando a definição do fluxo elétrico. Como o campo elétrico dado é E = x i + y j + z k e o cubo é centrado na origem com vértices em (pm 1, pm 1, pm 1), precisamos integrar cada componente do campo através das faces do cubo.

Passo 5

Vamos calcular o fluxo através de cada par de faces do cubo:
  1. Faces paralelas ao plano yz (x = ±1):
    • Para x = 1: E cdot n = 1
    • Para x = -1: E cdot n = -1
    • A área de cada face é 2 times 2 = 4
    • Fluxo total dessas faces: (1 times 4) + (-1 times 4) = 0
  2. Faces paralelas ao plano xz (y = ±1):
    • Para y = 1: E cdot n = 1
    • Para y = -1: E cdot n = -1
    • A área de cada face é 4
    • Fluxo total dessas faces: (1 times 4) + (-1 times 4) = 0
  3. Faces paralelas ao plano xy (z = ±1):
    • Para z = 1: E cdot n = 1
    • Para z = -1: E cdot n = -1
    • A área de cada face é 4
    • Fluxo total dessas faces: (1 times 4) + (-1 times 4) = 0

Passo 6

Somando todos os fluxos das seis faces, temos:
Phitotal = 0 + 0 + 0 = 0
Isso sugere que a carga total dentro do cubo é zero. No entanto, devemos considerar que o campo elétrico E = x i + y j + z k é um campo divergente.

Passo 7

Para encontrar a carga interna usando a Lei de Gauss, podemos utilizar a divergência do campo elétrico. A divergência de E é:
nabla cdot E = partial Expartial x + partial Eypartial y + partial Ezpartial z = 1 + 1 + 1 = 3
A Lei de Gauss em termos de divergência é:
integral triplaV (nabla cdot E) , dV = Qdentroepsilon0

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral de volume da divergência:
integral triplaV 3 , dV = 3 times volume do cubo
O volume do cubo com aresta de comprimento 2 (de -1 a 1 em cada direção) é:
Volume = 2 times 2 times 2 = 8
Então,
3 times 8 = 24
Logo,
Qdentroepsilon0 = 24 implies Qdentro = 24 epsilon0

Resposta

A carga dentro do cubo é 24 epsilon0.

Exercícios relacionados