Determine o campo vetorial gradiente das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta quer que a gente encontre o campo vetorial gradiente de uma função específica:
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre gradientes de funções de várias variáveis. Para resolver, a gente vai precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função, denotado por
, é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função. Para funções de duas variáveis, como a nossa, ele é composto pelas derivadas parciais em relação a
e
. Então, vamos precisar encontrar
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
. Isso significa que tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
:
Usando a regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é
, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Aqui, tratamos
como uma constante:
Novamente, aplicando a regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é
, pois a derivada de
é
. Então:
Resposta
O campo vetorial gradiente da função
é:
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Determine o trabalho realizado pela força constante
para deslocar uma partícula ao longo da reta
, do ponto
a
.
Determine o campo vetorial gradiente das funções abaixo.
Calcule o fluxo de
através da superfície:
(l) Use a lei de Gauss para determinar a carga dentro de um cubo com vértices , se o campo elétrico é
.
Stweard 5ed exer 16.7.42
Sol.
(l) Use a lei de Gauss para determinar a carga dentro de um cubo com vértices
Stweard 5ed exer 16.7.42
Sol.
Obtenha
para
.