Determine o campo vetorial gradiente das funções abaixo.
f(x, y) = (x - y)^2 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta quer que a gente encontre o campo vetorial gradiente de uma função específica: . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre gradientes de funções de várias variáveis. Para resolver, a gente vai precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função, denotado por , é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função. Para funções de duas variáveis, como a nossa, ele é composto pelas derivadas parciais em relação a e . Então, vamos precisar encontrar e .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a . Isso significa que tratamos como uma constante e derivamos em relação a :
Usando a regra da cadeia, a derivada de em relação a é , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Aqui, tratamos como uma constante:
Novamente, aplicando a regra da cadeia, a derivada de em relação a é , pois a derivada de é . Então:

Resposta

O campo vetorial gradiente da função é:

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