Calcule o fluxo de F(x, y, z) = z * i + x * j - 3 * y^2 * z * k através da superfície S, parte do cilindro x^2 + y^2 = 16, situado no primeiro octante, entre z = 0 e z = 5 e a normal n tal que vec(n) . i >= 0.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através de uma superfície S. Essa superfície é parte de um cilindro definido por , está no primeiro octante (onde x, y e z são positivos), vai de até , e a normal n deve satisfazer vec(n) . i >= 0. Para resolver isso, vamos usar o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície, que envolve integrar o produto escalar do campo vetorial com o vetor normal sobre a superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a superfície S. Ela é parte de um cilindro com raio (já que ) e está restrita ao primeiro octante, ou seja, x >= 0, y ≥ 0, e entre e . Para calcular o fluxo, precisamos parametrizar essa superfície e encontrar o vetor normal.

Passo 3

Vamos parametrizar o cilindro usando coordenadas cilíndricas. Podemos definir:
Onde theta varia de 0 a pi / 2 para cobrir o primeiro octante, e z varia de 0 a .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os vetores tangentes à superfície. Derivando as parametrizações em relação a theta e z:

Passo 5

O vetor normal n é o produto vetorial desses vetores tangentes:

Passo 6

Como a normal deve satisfazer vec(n) . i >= 0, já que os componentes em i e j são positivos no primeiro octante, nosso vetor normal está correto.

Passo 7

Agora, vamos calcular o fluxo, que é a integral dupla do produto escalar de F com n sobre a superfície S:
Substituindo F e n:

Passo 8

Lembrando que , então:

Passo 9

Agora, o elemento de área diferencial em coordenadas cilíndricas é dado por:

Passo 10

Então, a integral do fluxo se torna:

Passo 11

Vamos calcular a integral interna em relação a theta:

Passo 12

Agora, substituindo de volta na integral principal:

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície S é igual a 360.

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