Calcule o fluxo de através da superfície , parte do cilindro , situado no primeiro octante, entre e a normal tal que .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através de uma superfície . Essa superfície é parte de um cilindro definido por , está no primeiro octante (onde , e são positivos), vai de até , e a normal deve satisfazer . Para resolver isso, vamos usar o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície, que envolve integrar o produto escalar do campo vetorial com o vetor normal sobre a superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a superfície . Ela é parte de um cilindro com raio (já que ) e está restrita ao primeiro octante, ou seja, , , e entre e . Para calcular o fluxo, precisamos parametrizar essa superfície e encontrar o vetor normal.

Passo 3

Vamos parametrizar o cilindro usando coordenadas cilíndricas. Podemos definir:
Onde varia de a para cobrir o primeiro octante, e varia de a .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os vetores tangentes à superfície. Derivando as parametrizações em relação a e :

Passo 5

O vetor normal é o produto vetorial desses vetores tangentes:

Passo 6

Como a normal deve satisfazer , já que os componentes em e são positivos no primeiro octante, nosso vetor normal está correto.

Passo 7

Agora, vamos calcular o fluxo, que é a integral dupla do produto escalar de com sobre a superfície :
Substituindo e :

Passo 8

Lembrando que , então:

Passo 9

Agora, o elemento de área diferencial em coordenadas cilíndricas é dado por:

Passo 10

Então, a integral do fluxo se torna:

Passo 11

Vamos calcular a integral interna em relação a :

Passo 12

Agora, substituindo de volta na integral principal:

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície é igual a 360.

Exercícios relacionados

Calcule , onde e é a superfície plana , delimitada pelos planos coordenados e pelo plano e a normal se a afasta da origem.
Calcule , onde e a região do plano , situada no primeiro octante, com .
Calcule o fluxo do campo vetorial através da superfície , com , na direção do vetor normal exterior.
Calcule , onde , e é a superfície de revolução obtida girando-se o segmento de reta , com e , em torno do eixo , onde o vetor normal é exterior a .