Calcule o fluxo de através da superfície , parte do cilindro , situado no primeiro octante, entre e a normal tal que .
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através de uma superfície . Essa superfície é parte de um cilindro definido por , está no primeiro octante (onde , e são positivos), vai de até , e a normal deve satisfazer . Para resolver isso, vamos usar o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície, que envolve integrar o produto escalar do campo vetorial com o vetor normal sobre a superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a superfície . Ela é parte de um cilindro com raio (já que ) e está restrita ao primeiro octante, ou seja, , , e entre e . Para calcular o fluxo, precisamos parametrizar essa superfície e encontrar o vetor normal.
Passo 3
Vamos parametrizar o cilindro usando coordenadas cilíndricas. Podemos definir:
Onde varia de a para cobrir o primeiro octante, e varia de a .
Passo 4
Agora, vamos encontrar os vetores tangentes à superfície. Derivando as parametrizações em relação a e :
Passo 5
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores tangentes:
Passo 6
Como a normal deve satisfazer , já que os componentes em e são positivos no primeiro octante, nosso vetor normal está correto.
Passo 7
Agora, vamos calcular o fluxo, que é a integral dupla do produto escalar de com sobre a superfície :
Substituindo e :
Passo 8
Lembrando que , então:
Passo 9
Agora, o elemento de área diferencial em coordenadas cilíndricas é dado por:
Passo 10
Então, a integral do fluxo se torna:
Passo 11
Vamos calcular a integral interna em relação a :
Passo 12
Agora, substituindo de volta na integral principal:
Resposta
O fluxo do campo vetorial através da superfície é igual a 360.