Calcule , onde e a região do plano , situada no primeiro octante, com .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de superfície da função vetorial sobre a região do plano , que está no primeiro octante (ou seja, onde , e são todos positivos). Além disso, precisamos considerar que o vetor normal tem componente positiva na direção de ( ). Para resolver, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de fluxo sobre uma superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma expressão para o vetor normal à superfície . A equação do plano é . Os coeficientes de , e na equação do plano nos dão o vetor normal ao plano, que é .

Passo 3

Como a integral de fluxo é dada por , precisamos calcular o produto escalar entre e . Vamos fazer isso:

Passo 4

Agora, precisamos expressar a integral sobre a região . Como está no primeiro octante e no plano , podemos resolver a equação do plano para :
Para encontrar os limites de integração para e , consideramos que :
Então, os limites para vão de a , e para cada , vai de a .

Passo 5

Vamos substituir na expressão do produto escalar e integrar:
Simplificando dentro da integral:
A norma do vetor normal é:
Então, a integral fica:
A área da região no plano é um triângulo com base e altura (quando , ). Portanto:
Então, a integral total é:

Resposta

A integral de fluxo é igual a .

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