Calcule integral duplaS F cdot n d S, onde F(x, y, z)=x i+y j+z k e S a região do plano 2 x+3 y+z= =6, situada no primeiro octante, com n cdot k >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de superfície da função vetorial F(x, y, z) = x i + y j + z k sobre a região S do plano 2x + 3y + z = 6, que está no primeiro octante (ou seja, onde x, y e z são todos positivos). Além disso, precisamos considerar que o vetor normal n tem componente positiva na direção de k ( n cdot k >= 0). Para resolver, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de fluxo sobre uma superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma expressão para o vetor normal n à superfície S. A equação do plano é 2x + 3y + z = 6. Os coeficientes de x, y e z na equação do plano nos dão o vetor normal ao plano, que é n = lang<= 2, 3, 1 rang<=.

Passo 3

Como a integral de fluxo é dada por integral duplaS F cdot n , dS, precisamos calcular o produto escalar entre F e n. Vamos fazer isso:
F cdot n = (x)(2) + (y)(3) + (z)(1) = 2x + 3y + z

Passo 4

Agora, precisamos expressar a integral sobre a região S. Como S está no primeiro octante e no plano 2x + 3y + z = 6, podemos resolver a equação do plano para z:
z = 6 - 2x - 3y
Para encontrar os limites de integração para x e y, consideramos que z >= 0:
6 - 2x - 3y >= 0 Rightarrow 2x + 3y <= 6
Então, os limites para x vão de 0 a 3, e para cada x, y vai de 0 a (6 - 2x)/3.

Passo 5

Vamos substituir z na expressão do produto escalar e integrar:
integral duplaS (2x + 3y + z) , dS = integral duplaD (2x + 3y + (6 - 2x - 3y)) , | n | , dx , dy
Simplificando dentro da integral:
2x + 3y + 6 - 2x - 3y = 6
A norma do vetor normal n é:
| n | = raiz2^2 + 3^2 + 1^2 = raiz4 + 9 + 1 = raiz14
Então, a integral fica:
6 raiz14 integral duplaD dx , dy
A área da região D no plano xy é um triângulo com base 3 e altura 2 (quando x=0, y=2). Portanto:
A = 12 times 3 times 2 = 3
Então, a integral total é:
6 raiz14 times 3 = 18 raiz14

Resposta

A integral de fluxo é igual a 18 raiz14.

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