Calcule , onde , e é a superfície de revolução obtida girando-se o segmento de reta , com e , em torno do eixo , onde o vetor normal é exterior a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde . A superfície é gerada ao girar o segmento de reta entre os pontos e em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de um campo vetorial sobre uma superfície fechada com a integral de divergência desse campo dentro do volume limitado pela superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que:
Isso significa que, ao invés de calcular a integral na superfície, podemos calcular a divergência de dentro do volume envolvido por . Isso geralmente simplifica os cálculos.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de . A divergência de um vetor é dada por:
Aplicando isso a :

Passo 4

Agora, precisamos descrever o volume que está sendo girado. O segmento de reta de a é uma linha no espaço que, ao girar em torno do eixo , cria um cone truncado. Para parametrizar esse volume, podemos usar coordenadas cilíndricas, onde , , e .

Passo 5

Vamos determinar os limites de integração. Como o segmento vai de a , nosso limite para é de 2 a 4. Para cada , o raio varia de 0 até uma função linear que relaciona e .
Observando os pontos e , quando , , e quando , . Então, a relação entre e é:
Então, para cada , varia de 0 a , e varia de 0 a .

Passo 6

Agora vamos configurar a integral tripla usando coordenadas cilíndricas. A integral da divergência sobre o volume é:
Aqui, representa o elemento de volume em coordenadas cilíndricas.

Passo 7

Vamos resolver a integral interna com respeito a :
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, integramos com respeito a :
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Então:

Passo 9

Finalmente, integramos com respeito a :

Resposta

A integral de fluxo é .

Exercícios relacionados

Calcule o fluxo do campo vetorial através da superfície , com , na direção do vetor normal exterior.
Calcule o fluxo de através da superfície , parte do cilindro , situado no primeiro octante, entre e a normal tal que .
Calcule , onde e é a superfície plana , interior ao cilindro , com campo de vetores normais tal que .
Calcule o fluxo do campo através da superfície lateral do cilindro circular , limitada inferiormente pelo plano e superiormente pelo plano , com vetor normal exterior.