Calcule
, onde
, e
é a superfície de revolução obtida girando-se o segmento de reta
, com
e
, em torno do eixo
, onde o vetor normal
é exterior a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície
, onde
. A superfície
é gerada ao girar o segmento de reta entre os pontos
e
em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de um campo vetorial sobre uma superfície fechada com a integral de divergência desse campo dentro do volume limitado pela superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que:
Isso significa que, ao invés de calcular a integral na superfície, podemos calcular a divergência de
dentro do volume
envolvido por
. Isso geralmente simplifica os cálculos.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um vetor
é dada por:
Aplicando isso a
:
Passo 4
Agora, precisamos descrever o volume
que está sendo girado. O segmento de reta de
a
é uma linha no espaço que, ao girar em torno do eixo
, cria um cone truncado. Para parametrizar esse volume, podemos usar coordenadas cilíndricas, onde
,
, e
.
Passo 5
Vamos determinar os limites de integração. Como o segmento vai de
a
, nosso limite para
é de 2 a 4. Para cada
, o raio
varia de 0 até uma função linear que relaciona
e
.
Observando os pontos
e
, quando
,
, e quando
,
. Então, a relação entre
e
é:
Então, para cada
,
varia de 0 a
, e
varia de 0 a
.
Passo 6
Agora vamos configurar a integral tripla usando coordenadas cilíndricas. A integral da divergência sobre o volume
é:
Aqui,
representa o elemento de volume em coordenadas cilíndricas.
Passo 7
Vamos resolver a integral interna com respeito a
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, integramos com respeito a
:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Então:
Passo 9
Finalmente, integramos com respeito a
:
Resposta
A integral de fluxo é
.
Exercícios relacionados
Calcule o fluxo do campo vetorial
através da superfície
, com
, na direção do vetor normal
exterior.
Calcule o fluxo de
através da superfície
, parte do cilindro
, situado no primeiro octante, entre
e a normal
tal que
.
Calcule
, onde
e
é a superfície plana
, interior ao cilindro
, com campo de vetores normais
tal que .
Calcule o fluxo do campo
através da superfície lateral do cilindro circular
, limitada inferiormente pelo plano
e superiormente pelo plano
, com vetor normal
exterior.