Calcule integral duplaS F cdot n d S, onde F=(x, y,-z^22), e S é a superfície de revolução obtida girando-se o segmento de reta A B, com A=(0,1,2) e B=(0,2,4), em torno do eixo z, onde o vetor normal n é exterior a S.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde . A superfície é gerada ao girar o segmento de reta entre os pontos e em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de um campo vetorial sobre uma superfície fechada com a integral de divergência desse campo dentro do volume limitado pela superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Isso significa que, ao invés de calcular a integral na superfície, podemos calcular a divergência de dentro do volume envolvido por . Isso geralmente simplifica os cálculos.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z . A divergência de um vetor nabla cdot F = partialpartial x(x) + partialpartial y(y) + partialpartial z(-z^22) = 1 + 1 - z = 2 - z é dada por:
Aplicando isso a :

Passo 4

Agora, precisamos descrever o volume que está sendo girado. O segmento de reta de a é uma linha no espaço que, ao girar em torno do eixo , cria um cone truncado. Para parametrizar esse volume, podemos usar coordenadas cilíndricas, onde , , e .

Passo 5

Vamos determinar os limites de integração. Como o segmento vai de r = z2 a , nosso limite para é de 2 a 4. Para cada , o raio varia de 0 até uma função linear que relaciona e .
Observando os pontos e , quando , , e quando , . Então, a relação entre e é:
Então, para cada , varia de 0 a , e varia de 0 a .

Passo 6

Agora vamos configurar a integral tripla usando coordenadas cilíndricas. A integral da divergência sobre o volume integral triplaV (2 - z) , dV = integral0^2pi integral2^4 integral0^z2 (2 - z) , r , dr , dz , dtheta é:
Aqui, representa o elemento de volume em coordenadas cilíndricas.

Passo 7

Vamos resolver a integral interna com respeito a integral0^z2 (2 - z) , r , dr = (2 - z) [ r^22 ]0^z2 = (2 - z) cdot (z2)^22 = (2 - z) cdot z^28 :
integral0^2pi integral2^4 (2 - z) z^28 , dz , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, integramos com respeito a integral2^4 (2 - z) z^28 , dz = 18 integral2^4 (2z^2 - z^3) , dz = 18 [ 2z^33 - z^44 ]2^4 :
2(4)^33 - (4)^44 = 1283 - 2564 = 1283 - 64 = 128 - 1923 = -643
Calculando nos limites:
Para 2(2)^33 - (2)^44 = 163 - 164 = 163 - 4 = 16 - 123 = 43 :
18 ( -643 - 43 ) = 18 ( -683 ) = -6824 = -176
Para :
Então:

Passo 9

Finalmente, integramos com respeito a integral0^2pi -176 , dtheta = -176 cdot 2pi = -17pi3 :

Resposta

A integral de fluxo é .

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