Calcule integral duplaS F cdot n d S, onde F=x^2 i+y^2 j+z^2 k e S é a superfície plana x+y=2, delimitada pelos planos coordenados e pelo plano z=4 e a normal se a afasta da origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde o campo vetorial é . A superfície é o plano , limitado pelos planos coordenados ( , ) e pelo plano . A normal está apontando para fora da origem. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo através de uma superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que representa o fluxo do campo através da superfície . O fluxo mede quanto do campo passa pela superfície. Para calcular isso, precisamos parametrizar a superfície e encontrar a normal que aponta para fora da origem.

Passo 3

A superfície r(x, y) = x i + y j + z k é definida pelo plano r(x, z) = x i + (2 - x) j + z k . Podemos parametrizar essa superfície em termos de e , já que vai de 0 a 4. Então, uma parametrização possível é:
Mas como , podemos expressar , e assim a parametrização fica em termos de e :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a normal partial rpartial x = i - j à superfície. Para isso, calculamos os vetores tangentes da parametrização e depois o produto vetorial deles, que dará a normal.
Calculando as derivadas parciais:
partial rpartial z = k
n = partial rpartial x times partial rpartial z = (i - j) times k = i times k - j times k = -j - i = -i - j
O produto vetorial é:
Como queremos a normal que se afasta da origem, mantemos a direção.

Passo 5

Agora, precisamos calcular o produto escalar F = x^2 i + y^2 j + z^2 k . Substituindo n = -i - j e F cdot n = x^2 (-1) + y^2 (-1) + z^2 (0) = -x^2 - y^2 :

Passo 6

Agora, substituímos F cdot n = -x^2 - (2 - x)^2 = -x^2 - (4 - 4x + x^2) = -x^2 -4 +4x -x^2 = -2x^2 +4x -4 na expressão:

Passo 7

A integral de superfície fica então:
integral duplaS F cdot n , dS = integralz=0^4 integralx=0^2 (-2x^2 +4x -4) , dx , dz
Primeiro integramos em relação a integral0^2 (-2x^2 +4x -4) , dx = [ -23x^3 +2x^2 -4x ]0^2 = ( -23(8) +2(4) -4(2) ) - 0 = -163 +8 -8 = -163 :

Passo 8

Agora, integramos em relação a integral0^4 ( -163 ) dz = -163 times 4 = -643 :

Resposta

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