Calcule
, onde
e
é a superfície plana
, delimitada pelos planos coordenados e pelo plano
e a normal se a afasta da origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície
, onde o campo vetorial é
. A superfície
é o plano
, limitado pelos planos coordenados (
,
) e pelo plano
. A normal
está apontando para fora da origem. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo através de uma superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
representa o fluxo do campo
através da superfície
. O fluxo mede quanto do campo passa pela superfície. Para calcular isso, precisamos parametrizar a superfície
e encontrar a normal
que aponta para fora da origem.
Passo 3
A superfície
é definida pelo plano
. Podemos parametrizar essa superfície em termos de
e
, já que
vai de 0 a 4. Então, uma parametrização possível é:
Mas como
, podemos expressar
, e assim a parametrização fica em termos de
e
:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a normal
à superfície. Para isso, calculamos os vetores tangentes da parametrização e depois o produto vetorial deles, que dará a normal.
Calculando as derivadas parciais:
O produto vetorial é:
Como queremos a normal que se afasta da origem, mantemos a direção.
Passo 5
Agora, precisamos calcular o produto escalar
. Substituindo
e
:
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão:
Passo 7
A integral de superfície fica então:
Primeiro integramos em relação a
:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
e
a região do plano
, situada no primeiro octante, com
.
A posição
de um determinado sistema massa-mola satisfaz a seguinte equação diferencial
Mostre que toda solução desse sistema converge (quando
) para a solução de equilíbrio
.
Calcule o fluxo de
através da superfície
, parte do cilindro
, situado no primeiro octante, entre
e a normal
tal que
.
Calcule o fluxo do campo vetorial
através da superfície
, com
, na direção do vetor normal
exterior.