Calcule , onde e é a superfície plana , delimitada pelos planos coordenados e pelo plano e a normal se a afasta da origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde o campo vetorial é . A superfície é o plano , limitado pelos planos coordenados ( , ) e pelo plano . A normal está apontando para fora da origem. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo através de uma superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que representa o fluxo do campo através da superfície . O fluxo mede quanto do campo passa pela superfície. Para calcular isso, precisamos parametrizar a superfície e encontrar a normal que aponta para fora da origem.

Passo 3

A superfície é definida pelo plano . Podemos parametrizar essa superfície em termos de e , já que vai de 0 a 4. Então, uma parametrização possível é:
Mas como , podemos expressar , e assim a parametrização fica em termos de e :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a normal à superfície. Para isso, calculamos os vetores tangentes da parametrização e depois o produto vetorial deles, que dará a normal.
Calculando as derivadas parciais:
O produto vetorial é:
Como queremos a normal que se afasta da origem, mantemos a direção.

Passo 5

Agora, precisamos calcular o produto escalar . Substituindo e :

Passo 6

Agora, substituímos na expressão:

Passo 7

A integral de superfície fica então:
Primeiro integramos em relação a :

Passo 8

Agora, integramos em relação a :

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule , onde e a região do plano , situada no primeiro octante, com .
A posição de um determinado sistema massa-mola satisfaz a seguinte equação diferencial
Mostre que toda solução desse sistema converge (quando ) para a solução de equilíbrio .
Calcule o fluxo de através da superfície , parte do cilindro , situado no primeiro octante, entre e a normal tal que .
Calcule o fluxo do campo vetorial através da superfície , com , na direção do vetor normal exterior.