Calcule o fluxo do campo vetorial através da superfície , com , na direção do vetor normal exterior.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície específica. O conteúdo principal aqui é Cálculo Vetorial, mais precisamente sobre fluxo de campos vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é fluxo, como calcular integrais de superfície e usar o Teorema de Gauss (ou Divergência) para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “campo” que passa por essa superfície. Matematicamente, é representado por uma integral de superfície:
onde é o campo vetorial, é o vetor normal à superfície, e é um elemento de área da superfície.

Passo 3

A superfície dada é para . Essa é uma parábola que se abre para cima, limitada pelo plano . Para calcular o fluxo, precisamos considerar a orientação do vetor normal para fora da superfície.

Passo 4

Vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo vetorial dentro do volume limitado por essa superfície. A fórmula do teorema é:
Isso vai simplificar nossos cálculos porque calcular a divergência é geralmente mais fácil do que a integral de superfície diretamente.

Passo 5

Primeiro, vamos fechar a superfície adicionando a base no plano , que é um disco de raio 1 (já que e ). Agora, temos uma superfície fechada composta pela parábola e pela base.

Passo 6

Calculamos a divergência do campo vetorial :

Passo 7

Agora, aplicamos o teorema da divergência:
Precisamos calcular essa integral no volume delimitado pela parábola e pela base .

Passo 8

Usando coordenadas cilíndricas, onde , , e , a equação da par��bola fica . Os limites serão:
Mas como queremos de até , ajustamos os limites:

Passo 9

Calculamos a integral em coordenadas cilíndricas:

Passo 10

Integrando em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 11

Integrando em relação a :

Passo 12

Por fim, integrando em relação a :

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície é .

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