Calcule o fluxo através das superfícies, no sentido dado:
para fora através do cilindro
cortado pelos planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular o fluxo do campo vetorial
através das superfícies de um cilindro definido por
, que está cortado pelos planos
e
. O conteúdo principal aqui envolve o cálculo de fluxo através de superfícies usando integrais de superfície. Vamos precisar entender o que é fluxo, como parametrizar a superfície do cilindro e como aplicar a integral de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede a quantidade de campo que passa através dessa superfície. Matematicamente, é dado pela integral de superfície:
Onde:
-
é o campo vetorial. -
é o vetor normal à superfície. -
é o elemento de área da superfície.
Passo 3
Como estamos lidando com um cilindro
entre
e
, vamos dividir a superfície em três partes:
- A superfície lateral do cilindro.
- A base inferior no plano
. - A base superior no plano
.
Vamos calcular o fluxo através de cada uma dessas partes e somá-los.
Passo 4
Fluxo pela superfície lateral:
Para a superfície lateral do cilindro
, podemos parametrizar usando coordenadas cilíndricas:
Onde
e
.
O vetor normal
para a superfície lateral aponta para fora e é dado por:
O elemento de área
para a superfície lateral é:
Agora, o fluxo através da superfície lateral é:
Substituindo
e
:
Então, o fluxo lateral fica:
Vamos calcular a integral interna em relação a
:
Portanto:
Passo 5
Fluxo pela base inferior (
):
Na base inferior,
, e a orientação do vetor normal
é para baixo, ou seja,
.
O fluxo através da base inferior é:
Porque o produto escalar resulta em zero.
Passo 6
Fluxo pela base superior (
):
Na base superior,
, e a orientação do vetor normal
é para cima, ou seja,
.
O fluxo através da base superior é:
A área do círculo
é
, então:
Passo 7
Agora, somamos os fluxos de todas as superfícies:
Resposta
O fluxo total através das superfícies é igual a
.