Calcule o fluxo através das superfícies, no sentido dado:
F = (x, x, z) para fora através do cilindro x^2 + y^2 = 1 cortado pelos planos z = 0 e z = a.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular o fluxo do campo vetorial através das superfícies de um cilindro definido por , que está cortado pelos planos e . O conteúdo principal aqui envolve o cálculo de fluxo através de superfícies usando integrais de superfície. Vamos precisar entender o que é fluxo, como parametrizar a superfície do cilindro e como aplicar a integral de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede a quantidade de campo que passa através dessa superfície. Matematicamente, é dado pela integral de superfície:
Onde:
  • F é o campo vetorial.
  • n é o vetor normal à superfície.
  • é o elemento de área da superfície.

Passo 3

Como estamos lidando com um cilindro entre z = 0 e , vamos dividir a superfície em três partes:
  1. A superfície lateral do cilindro.
  2. A base inferior no plano z = 0.
  3. A base superior no plano .
Vamos calcular o fluxo através de cada uma dessas partes e somá-los.

Passo 4

Fluxo pela superfície lateral:
Para a superfície lateral do cilindro , podemos parametrizar usando coordenadas cilíndricas:
Onde e 0 <= z <= a.
O vetor normal n para a superfície lateral aponta para fora e é dado por:
O elemento de área para a superfície lateral é:
Agora, o fluxo através da superfície lateral é:
Substituindo e :
Então, o fluxo lateral fica:
Vamos calcular a integral interna em relação a theta:
Portanto:

Passo 5

Fluxo pela base inferior ( z = 0):
Na base inferior, z = 0, e a orientação do vetor normal n é para baixo, ou seja, .
O fluxo através da base inferior é:
Porque o produto escalar resulta em zero.

Passo 6

Fluxo pela base superior ( ):
Na base superior, , e a orientação do vetor normal n é para cima, ou seja, .
O fluxo através da base superior é:
A área do círculo x^2 + y^2 <= 1 é pi, então:

Passo 7

Agora, somamos os fluxos de todas as superfícies:

Resposta

O fluxo total através das superfícies é igual a .

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