Calcule o fluxo através das superfícies, no sentido dado: para fora, através da porção do cone entre os planos
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através de uma superfície específica: a parte do cone definido por , entre os planos e . O conteúdo aqui envolve Cálculo Vetorial, mais precisamente o conceito de fluxo através de uma superfície. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de fluxo e parametrizar a superfície do cone.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanto do campo está “passando” por essa superfície. Matematicamente, é dado pela integral de superfície:
onde é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a superfície do cone. Em coordenadas cilíndricas, o cone pode ser escrito como , onde é a distância ao eixo . Então, nossos parâmetros serão e , onde varia de 1 a 2 (entre os planos e ) e varia de 0 a .
As parametrizações ficam:
Passo 4
Vamos encontrar os vetores tangentes à superfície. Derivando em relação a e :
O vetor normal é o produto vetorial desses dois vetores:
Passo 5
Como queremos o vetor normal para fora, já está na direção correta. O elemento de área diferencial é o módulo desse vetor normal:
Então, o vetor normal unitário é:
Mas para a integral de fluxo, podemos usar diretamente