Calcule o fluxo através das superfícies, no sentido dado:
para fora, através da porção do cone entre os planos

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através de uma superfície específica: a parte do cone definido por , entre os planos e . O conteúdo aqui envolve Cálculo Vetorial, mais precisamente o conceito de fluxo através de uma superfície. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de fluxo e parametrizar a superfície do cone.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanto do campo está “passando” por essa superfície. Matematicamente, é dado pela integral de superfície:
onde é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a superfície do cone. Em coordenadas cilíndricas, o cone pode ser escrito como , onde é a distância ao eixo . Então, nossos parâmetros serão e , onde varia de 1 a 2 (entre os planos e ) e varia de 0 a .
As parametrizações ficam:

Passo 4

Vamos encontrar os vetores tangentes à superfície. Derivando em relação a e :
O vetor normal é o produto vetorial desses dois vetores:

Passo 5

Como queremos o vetor normal para fora, já está na direção correta. O elemento de área diferencial é o módulo desse vetor normal:
Então, o vetor normal unitário é:
Mas para a integral de fluxo, podemos usar diretamente

Passo 6

Agora, vamos calcular :
Usando a identidade trigonométrica :

Passo 7

Agora, montamos a integral de superfície:

Passo 8

Vamos integrar primeiro em relação a :

Passo 9

Agora, integramos em relação a :

Resposta

O fluxo através da superfície do cone é .

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Calcule o fluxo através das superfícies, no sentido dado:
para fora através do cilindro cortado pelos planos e .
Calcule o fluxo através das superfícies, no sentido dado:
para cima, através da porção do plano que está acima do quadrado .
Calcule o fluxo através das superfícies, no sentido dado:
para fora da superfície cortada do cilindro pelos planos e .
Calcule a derivada usando as diversas propriedades estudadas e escreve a regra utilizada para calcular cada uma