Calcule o fluxo através das superfícies, no sentido dado:
F = (-x, -y, z^2) para fora, através da porção do cone z = raiz(x^2 + y^2) entre os planos z = 1 e = 2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através de uma superfície específica: a parte do cone definido por , entre os planos z = 1 e z = 2. O conteúdo aqui envolve Cálculo Vetorial, mais precisamente o conceito de fluxo através de uma superfície. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de fluxo e parametrizar a superfície do cone.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanto do campo está “passando” por essa superfície. Matematicamente, é dado pela integral de superfície:
onde n é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a superfície do cone. Em coordenadas cilíndricas, o cone pode ser escrito como , onde r é a distância ao eixo z. Então, nossos parâmetros serão r e theta, onde r varia de 1 a 2 (entre os planos z = 1 e z = 2) e theta varia de 0 a .
As parametrizações ficam:

Passo 4

Vamos encontrar os vetores tangentes à superfície. Derivando em relação a r e theta:
O vetor normal n é o produto vetorial desses dois vetores:

Passo 5

Como queremos o vetor normal para fora, já está na direção correta. O elemento de área diferencial é o módulo desse vetor normal:
Então, o vetor normal unitário é:
Mas para a integral de fluxo, podemos usar diretamente

Passo 6

Agora, vamos calcular :
Usando a identidade trigonométrica :

Passo 7

Agora, montamos a integral de superfície:

Passo 8

Vamos integrar primeiro em relação a r:

Passo 9

Agora, integramos em relação a theta:

Resposta

O fluxo através da superfície do cone é .

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