Calcule o fluxo através das superfícies, no sentido dado:
F = (z^2, x, 3z) para fora da superfície cortada do cilindro z = 4 - y^2 pelos planos x=0, x=1 e z = 0.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo de fluxo vetorial. O enunciado pede para calcular o fluxo do campo vetorial F = (z^2, x, 3z) através de uma superfície específica. Essa superfície é parte de um cilindro dado por e está limitada pelos planos x = 0, x = 1 e z = 0. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como fluxo, derivada divergente e aplicação do Teorema da Divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “fluido” que passa por essa superfície. Matematicamente, é calculado usando a integral de superfície:
onde n é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Para simplificar o cálculo, vamos usar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss), que relaciona a integral de superfície do fluxo com a integral de volume da divergência do campo vetorial:
Assim, precisamos calcular a divergência de F.

Passo 4

Calculando a divergência de F:
Então, a divergência é constante e igual a 3.

Passo 5

Agora, vamos determinar o volume V delimitado pela superfície. A superfície está definida pelo cilindro , entre os planos x = 0, x = 1 e z = 0. Isso significa que x varia de 0 a 1, y varia de a , e z varia de 0 a .

Passo 6

Vamos configurar a integral tripla para calcular o volume:

Passo 7

Integramos em relação a z primeiro:
Agora, a integral fica:

Passo 8

Integrando em relação a y:

Passo 9

Agora, integremos em relação a x:

Passo 10

Finalmente, substituindo os limites e simplificando:
Para :

Resposta

O fluxo através das superfícies é igual a unidades.

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