Calcule o fluxo através das superfícies, no sentido dado:
para fora da superfície cortada do cilindro
pelos planos
e
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo de fluxo vetorial. O enunciado pede para calcular o fluxo do campo vetorial
através de uma superfície específica. Essa superfície é parte de um cilindro dado por
e está limitada pelos planos
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como fluxo, derivada divergente e aplicação do Teorema da Divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “fluido” que passa por essa superfície. Matematicamente, é calculado usando a integral de superfície:
onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Para simplificar o cálculo, vamos usar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss), que relaciona a integral de superfície do fluxo com a integral de volume da divergência do campo vetorial:
Assim, precisamos calcular a divergência de
.
Passo 4
Calculando a divergência de
:
Então, a divergência é constante e igual a 3.
Passo 5
Agora, vamos determinar o volume
delimitado pela superfície. A superfície está definida pelo cilindro
, entre os planos
,
e
. Isso significa que
varia de 0 a 1,
varia de
a
, e
varia de 0 a
.
Passo 6
Vamos configurar a integral tripla para calcular o volume:
Passo 7
Integramos em relação a
primeiro:
Agora, a integral fica:
Passo 8
Integrando em relação a
:
Passo 9
Agora, integremos em relação a
:
Passo 10
Finalmente, substituindo os limites e simplificando:
Para
:
Resposta
O fluxo através das superfícies é igual a
unidades.
Exercícios relacionados
Calcule o fluxo através das superfícies, no sentido dado:
para fora, através da porção do cone
entre os planos
Calcule o fluxo através das superfícies, no sentido dado:
para fora através do cilindro
cortado pelos planos
e
.
Calcule a derivada
usando as diversas propriedades estudadas e escreve a regra utilizada para calcular cada uma
Calcule a derivada
usando as diversas propriedades estudadas e escreve a regra utilizada para calcular cada uma