Calcule o fluxo através das superfícies, no sentido dado:
para fora da superfície cortada do cilindro pelos planos e .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo de fluxo vetorial. O enunciado pede para calcular o fluxo do campo vetorial através de uma superfície específica. Essa superfície é parte de um cilindro dado por e está limitada pelos planos , e . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como fluxo, derivada divergente e aplicação do Teorema da Divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “fluido” que passa por essa superfície. Matematicamente, é calculado usando a integral de superfície:
onde é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Para simplificar o cálculo, vamos usar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss), que relaciona a integral de superfície do fluxo com a integral de volume da divergência do campo vetorial:
Assim, precisamos calcular a divergência de .

Passo 4

Calculando a divergência de :
Então, a divergência é constante e igual a 3.

Passo 5

Agora, vamos determinar o volume delimitado pela superfície. A superfície está definida pelo cilindro , entre os planos , e . Isso significa que varia de 0 a 1, varia de a , e varia de 0 a .

Passo 6

Vamos configurar a integral tripla para calcular o volume:

Passo 7

Integramos em relação a primeiro:
Agora, a integral fica:

Passo 8

Integrando em relação a :

Passo 9

Agora, integremos em relação a :

Passo 10

Finalmente, substituindo os limites e simplificando:
Para :

Resposta

O fluxo através das superfícies é igual a unidades.

Exercícios relacionados

Calcule o fluxo através das superfícies, no sentido dado:
para fora, através da porção do cone entre os planos
Calcule o fluxo através das superfícies, no sentido dado:
para fora através do cilindro cortado pelos planos e .
Calcule a derivada usando as diversas propriedades estudadas e escreve a regra utilizada para calcular cada uma
Calcule a derivada usando as diversas propriedades estudadas e escreve a regra utilizada para calcular cada uma