Calcule o fluxo do campo , através da superfície aberta , com tendo componente positiva.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície aberta , onde , e o vetor normal tem componente positiva. Vamos precisar usar o Teorema da Divergência para resolver isso, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo vetorial dentro do volume limitado por essa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “algo” (como um fluido) que passa por essa superfície. Matematicamente, é representado por:
onde é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o Teorema da Divergência. Esse teorema nos diz que o fluxo de através de uma superfície fechada é igual à integral da divergência de sobre o volume limitado por :
Isso facilita muito o cálculo, pois pode ser mais fácil integrar sobre o volume do que sobre a superfície.
Passo 4
No nosso caso, a superfície não é fechada. Ela é apenas a parte superior de uma esfera de raio 2 (). Para aplicar o Teorema da Divergência, precisamos fechar essa superfície. Vamos adicionar a base dessa esfera, que é o disco no plano com . Vamos chamar essa base de .
Passo 5
Agora, temos uma superfície fechada composta por e . Vamos calcular o fluxo através dessa superfície fechada usando o Teorema da Divergência:
Queremos encontrar apenas , então vamos precisar calcular o fluxo através de e da divergência sobre .
Passo 6
Primeiro, vamos encontrar a divergência de :
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral tripla da divergência sobre o volume . Como é a parte superior de uma esfera de raio 2, é conveniente usar coordenadas esféricas. Mas aqui, vamos simplificar usando coordenadas cilíndricas devido à simetria da função.
Em coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume é:
A divergência em coordenadas cilíndricas fica:
Passo 8
Vamos estabelecer os limites de integração. Como e , os limites são:
Então, a integral tripla fica:
Passo 9
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Substituindo os limites:
Passo 10
Agora, integramos em relação a de 0 a 2 e multiplicamos por (do elemento ):
Essa integral pode ser resolvida por substituição, mas para simplificar, vamos considerar o resultado já conhecido:
Passo 11
Agora, precisamos calcular o fluxo através da base . Na base, , e o vetor normal aponta para baixo, ou seja, na direção . Então: