Use o Teorema de Stokes para calcular ointC F d R, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. F(x, y, z)=(x^2-y) i+4 z j+x^2 k, C é a curva de interseção do plano z=2 com o cone z=(x^2+y^2)^12

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral de linha usando o Teorema de Stokes. Esse problema está na área de cálculo vetorial, especificamente envolvendo campos vetoriais e integrais de linha. Para resolver, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de e escolher uma superfície adequada limitada pela curva .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva 2 = raizx^2 + y^2 . Ela é a interseção do plano 4 = x^2 + y^2 com o cone . Para achar essa interseção, igualamos as duas equações:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Então, a curva é um círculo de raio 2 no plano .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a integral de linha de um campo vetorial ointC F , dR = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS ao redor de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional de sobre uma superfície limitada por :
Onde é o vetor normal à superfície .

Passo 4

Vamos calcular o rotacional de F(x,y,z) = (x^2 - y)i + 4zj + x^2k :
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z )i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x )j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y )k
O rotacional partial Fzpartial y = 0, partial Fypartial z = 4 é dado por:
partial Fxpartial z = 0, partial Fzpartial x = 2x
Calculando cada componente:
partial Fypartial x = 0, partial Fxpartial y = -1
nabla times F = (0 - 4)i + (0 - 2x)j + (0 - (-1))k = -4i - 2xj + k
Então:

Passo 5

Escolhemos a superfície como o disco no plano , já que é mais fácil de trabalhar. O vetor normal para essa superfície, orientado para cima (sentido anti-horário visto de cima), é .

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral de superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaS (-4i - 2xj + k) cdot k , dS = integral duplaS 1 , dS
Isso porque apenas a componente do rotacional contribui, já que e .

Passo 7

A integral Área = pi r^2 = pi (2)^2 = 4pi é simplesmente a área do disco de raio 2:
Á

Resposta

ointC F , dR = 4pi

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