Use o Teorema de Stokes para calcular
, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
é a curva de interseção do plano
com o cone
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral de linha
usando o Teorema de Stokes. Esse problema está na área de cálculo vetorial, especificamente envolvendo campos vetoriais e integrais de linha. Para resolver, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de
e escolher uma superfície adequada limitada pela curva
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Ela é a interseção do plano
com o cone
. Para achar essa interseção, igualamos as duas equações:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Então, a curva
é um círculo de raio 2 no plano
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a integral de linha de um campo vetorial
ao redor de uma curva fechada
com a integral de superfície do rotacional de
sobre uma superfície
limitada por
:
Onde
é o vetor normal à superfície
.
Passo 4
Vamos calcular o rotacional de
:
O rotacional
é dado por:
Calculando cada componente:
Então:
Passo 5
Escolhemos a superfície
como o disco no plano
, já que é mais fácil de trabalhar. O vetor normal
para essa superfície, orientado para cima (sentido anti-horário visto de cima), é
.
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral de superfície:
Isso porque apenas a componente
do rotacional contribui, já que
e
.
Passo 7
A integral
é simplesmente a área do disco de raio 2: