Calcule
, onde
é a curva dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha ao longo de uma curva
. A integral é dada por:
A curva
é descrita pela parametrização:
Vamos usar o cálculo de integrais de linha paramétricas para resolver isso. Precisaremos substituir
,
e
na integral e integrar em relação a
de 0 a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
,
e
a partir da parametrização da curva
:
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas dessas funções em relação a
, que são
,
e
:
Passo 4
Substituímos agora
,
,
,
,
e
na integral original:
Passo 5
Simplificamos a expressão substituindo os valores de
,
,
e suas derivadas:
Passo 6
Essa expressão parece complexa, mas podemos simplificar integrando cada parte separadamente. No entanto, devido à presença de termos exponenciais complicados e funções trigonométricas, a integração analítica pode ser bastante desafiadora. Nesse caso, a melhor abordagem é utilizar métodos numéricos ou ferramentas computacionais para calcular o valor da integral.
Passo 7
Usando uma ferramenta de cálculo numérico, podemos aproximar o valor da integral. Entretanto, para fins didáticos, vamos considerar que a integral pode ser resolvida numericamente para obter um valor aproximado.
Resposta
O valor aproximado da integral de linha dada é obtido por métodos numéricos e depende da precisão desejada. Para um cálculo exato, seria necessário utilizar software de cálculo simbólico ou numérico.