Use o Teorema de Green para determinar o trabalho realizado pelo campo de força
sobre uma partícula que se move ao longo do caminho que começa em (5,0), percorre o semicírculo superior
e retorna ao seu ponto de partida ao longo do eixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o trabalho realizado por um campo de força específico quando uma partícula se move ao longo de um caminho fechado. Vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas, facilitando os cálculos. Precisamos conhecer um pouco de cálculo vetorial, especialmente sobre integrais e o Teorema de Green.
Passo 2
Primeiro, identificamos o campo de força dado:
. Queremos calcular o trabalho realizado por esse campo ao longo do caminho fechado descrito no enunciado.
Passo 3
O Trabalho realizado por um campo de força
ao longo de um caminho
é dado pela integral de linha:
Como o caminho é fechado, podemos aplicar o Teorema de Green, que relaciona essa integral de linha a uma integral dupla sobre a região
delimitada por
:
onde
.
Passo 4
Identificando
e
do nosso campo:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Subtraindo:
Passo 5
Agora, a integral dupla fica:
Precisamos determinar a região
que está sendo integrada. O caminho consiste em um semicírculo superior de raio 5 (já que
) começando e terminando em
, e retornando ao ponto de partida ao longo do eixo
.
Passo 6
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. A região
corresponde ao semicírculo superior, então
varia de
a
e
de
a
.
A integral em coordenadas polares fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Primeiro, integraremos em
:
Agora, integramos em
:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de força é
unidades de trabalho.