Use o Teorema de Green para determinar o trabalho realizado pelo campo de força F(x, y) = x y i + (1/2 x^2 + x y) j sobre uma partícula que se move ao longo do caminho que começa em (5,0), percorre o semicírculo superior x^2 + y^2 = 25 e retorna ao seu ponto de partida ao longo do eixo x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o trabalho realizado por um campo de força específico quando uma partícula se move ao longo de um caminho fechado. Vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas, facilitando os cálculos. Precisamos conhecer um pouco de cálculo vetorial, especialmente sobre integrais e o Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, identificamos o campo de força dado: . Queremos calcular o trabalho realizado por esse campo ao longo do caminho fechado descrito no enunciado.

Passo 3

O Trabalho realizado por um campo de força ao longo de um caminho é dado pela integral de linha:
Como o caminho é fechado, podemos aplicar o Teorema de Green, que relaciona essa integral de linha a uma integral dupla sobre a região delimitada por :
onde .

Passo 4

Identificando e do nosso campo:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Subtraindo:

Passo 5

Agora, a integral dupla fica:
Precisamos determinar a região que está sendo integrada. O caminho consiste em um semicírculo superior de raio 5 (já que ) começando e terminando em , e retornando ao ponto de partida ao longo do eixo .

Passo 6

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde e . A região corresponde ao semicírculo superior, então varia de a e de a .
A integral em coordenadas polares fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral:
Primeiro, integraremos em :
Agora, integramos em :

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força é unidades de trabalho.

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