Seja o campo vetorial
Calcule
, onde
é a fronteira do plano
, que fica no primeiro octante, orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de linha do campo vetorial
ao longo da curva
, que é a fronteira do plano
no primeiro octante, orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial com a integral de superfície do rotacional desse campo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por
, nos dá uma medida de quanto o campo
circula em torno de um ponto. Para aplicar o Teorema de Stokes, precisamos calcular esse rotacional.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
:
O rotacional de
é dado por:
Vamos calcular cada componente:
- Componente i:
- Componente j:
- Componente k:
Portanto,
Passo 4
Agora que vimos que o rotacional de
é zero, a integral de superfície será zero também. Pelo Teorema de Stokes:
Como
, a integral de superfície é zero.