Seja o campo vetorial F=(3 y z^2-2 x e^z) i+(3 x z^2+cos y) j+(6 x y z-x^2 e^z) k Calcule integralC F cdot d r, onde C é a fronteira do plano x+y+z=2, que fica no primeiro octante, orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo da curva , que é a fronteira do plano no primeiro octante, orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial com a integral de superfície do rotacional desse campo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por , nos dá uma medida de quanto o campo circula em torno de um ponto. Para aplicar o Teorema de Stokes, precisamos calcular esse rotacional.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F = (3 y z^2 - 2 x e^z) i + (3 x z^2 + cos y) j + (6 x y z - x^2 e^z) k :
nabla times F = ( partial Fkpartial y - partial Fjpartial z ) i + ( partial Fipartial z - partial Fkpartial x ) j + ( partial Fjpartial x - partial Fipartial y ) k
O rotacional de partial Fkpartial y = partialpartial y (6xy z - x^2 e^z) = 6x z é dado por:
partial Fjpartial z = partialpartial z (3x z^2 + cos y) = 6x z
Vamos calcular cada componente:
  1. Componente i:
Componente i = 6x z - 6x z = 0
partial Fipartial z = partialpartial z (3y z^2 - 2x e^z) = 6y z - 2x e^z
partial Fkpartial x = partialpartial x (6xy z - x^2 e^z) = 6y z - 2x e^z
  1. Componente j:
Componente j = (6y z - 2x e^z) - (6y z - 2x e^z) = 0
partial Fjpartial x = partialpartial x (3x z^2 + cos y) = 3 z^2
partial Fipartial y = partialpartial y (3y z^2 - 2x e^z) = 3 z^2
  1. Componente k:
Componente k = 3 z^2 - 3 z^2 = 0
nabla times F = 0 i + 0 j + 0 k = 0
Portanto,

Passo 4

Agora que vimos que o rotacional de integralC F cdot dr = integralS (nabla times F) cdot n , dS é zero, a integral de superfície será zero também. Pelo Teorema de Stokes:
Como , a integral de superfície é zero.

Resposta

integralC F cdot dr = 0

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