Calcule o fluxo do campo
através da superfície
na direção da normal exterior
.
©
é a parte do primeiro octante, limitada pelos três planos coordenados e pela esfera
;
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o fluxo do campo
através da superfície
, que é a parte do primeiro octante limitada pelos três planos coordenados e pela esfera
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é fluxo de um campo vetorial e como calcular usando integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo. O fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície
mede a quantidade de “fluxo” que passa por
. Matematicamente, é dado por:
Onde
é o vetor normal à superfície
na direção exterior.
Passo 3
Para facilitar os cálculos, podemos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo no volume limitado por essa superfície. O teorema diz:
Onde
é o volume dentro da superfície
.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é:
No nosso caso,
, então
,
e
. Então:
Passo 5
Como a divergência é zero, a integral de volume também será zero:
Isso significa que o fluxo total através da superfície fechada é zero.
Passo 6
No entanto, a superfície
que nos interessam é apenas a parte da esfera no primeiro octante. Para aplicar o Teorema da Divergência, precisamos considerar toda a superfície fechada, que inclui também os planos coordenados
,
e
. Chamaremos essas partes de
,
e
.
Então, temos:
Passo 7
Como
, podemos isolar
:
Agora, precisamos calcular os fluxos através das superfícies dos planos coordenados.
Passo 8
Vamos calcular cada um desses fluxos:
-
Fluxo através de
: - Neste plano,
. - O vetor normal externo aponta para baixo, na direção de
. -
. - Então,
.
- Neste plano,
-
Fluxo através de
: - Neste plano,
. - O vetor normal externo aponta para o lado negativo de
, ou seja, . -
. - Então,
.
- Neste plano,
-
**Fluxo através de
}: - Neste plano,
. - O vetor normal externo aponta na direção negativa de
, ou seja, . -
. - Então,
.
- Neste plano,
Passo 9
Como todos os fluxos através dos planos coordenados são zero, temos:
Resposta
O fluxo do campo
através da superfície
é zero.
Exercícios relacionados
Seja
a curva representada pelas equações (Ex11)
Calcule
.
Ache
.
Calcule
, o fluxo de
através de
, em cada caso:
(a) parametrizada por
;
(a)
Calcule as integrais a seguir:
(e) ;
(e)