Calcule o fluxo do campo através da superfície na direção da normal exterior .
© é a parte do primeiro octante, limitada pelos três planos coordenados e pela esfera ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o fluxo do campo através da superfície , que é a parte do primeiro octante limitada pelos três planos coordenados e pela esfera . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é fluxo de um campo vetorial e como calcular usando integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “fluxo” que passa por . Matematicamente, é dado por:
Onde é o vetor normal à superfície na direção exterior.

Passo 3

Para facilitar os cálculos, podemos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo no volume limitado por essa superfície. O teorema diz:
Onde é o volume dentro da superfície .

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é:
No nosso caso, , então , e . Então:

Passo 5

Como a divergência é zero, a integral de volume também será zero:
Isso significa que o fluxo total através da superfície fechada é zero.

Passo 6

No entanto, a superfície que nos interessam é apenas a parte da esfera no primeiro octante. Para aplicar o Teorema da Divergência, precisamos considerar toda a superfície fechada, que inclui também os planos coordenados , e . Chamaremos essas partes de , e .
Então, temos:

Passo 7

Como , podemos isolar :
Agora, precisamos calcular os fluxos através das superfícies dos planos coordenados.

Passo 8

Vamos calcular cada um desses fluxos:
  1. Fluxo através de :
    • Neste plano, .
    • O vetor normal externo aponta para baixo, na direção de .
    • .
    • Então, .
  2. Fluxo através de :
    • Neste plano, .
    • O vetor normal externo aponta para o lado negativo de , ou seja, .
    • .
    • Então, .
  3. **Fluxo através de }:
    • Neste plano, .
    • O vetor normal externo aponta na direção negativa de , ou seja, .
    • .
    • Então, .

Passo 9

Como todos os fluxos através dos planos coordenados são zero, temos:

Resposta

O fluxo do campo através da superfície é zero.

Exercícios relacionados

Seja a curva representada pelas equações (Ex11)
Calcule .
Ache .
Calcule , o fluxo de através de , em cada caso:
(a) parametrizada por ;
Calcule as integrais a seguir:
(e) ;