Calcule as integrais a seguir:
(e)
;
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral
. Esse exercício está na matéria de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais impróprias e substituição. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição inteligente que simplifica a expressão da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função que estamos integrando:
. O denominador
pode ser reescrito como
, o que nos sugere fazer uma substituição envolvendo
.
Passo 3
Vamos definir uma nova variável para simplificar a integral. Seja
. Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
.
Passo 4
Substituindo
e
na integral original, temos:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral
. Sabemos que a integral de
é
. Aqui,
, então
.
Passo 6
Voltando aos limites de integração, quando
,
, e quando
,
. Então, aplicando os limites:
Passo 7
Calculando os limites:
Então:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Calcule
, o fluxo de
através de
, em cada caso:
(a) parametrizada por
;
(a)
Calcule o fluxo do campo
através da superfície
na direção da normal exterior
.
© é a parte do primeiro octante, limitada pelos três planos coordenados e pela esfera
;
©
Calcule
, o fluxo de
através de
, em cada caso:
(d) é a parte da superfície
situada acima do plano
e orientada para cima;
(d)
Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de
através de
(orientada positivamente) em cada caso:
(a) é a superfície do paralelepípedo delimitado pelos planos coordenados e por
e
;
(a)