Calcule as integrais a seguir:
(e) integral0^infty x^29+x^6 d x;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral . Esse exercício está na matéria de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais impróprias e substituição. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição inteligente que simplifica a expressão da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função que estamos integrando: . O denominador pode ser reescrito como , o que nos sugere fazer uma substituição envolvendo .

Passo 3

Vamos definir uma nova variável para simplificar a integral. Seja du = 3x^2 , dx Rightarrow x^2 , dx = du3 . Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir .

Passo 4

Substituindo integral0^infty x^29 + x^6 , dx = integral0^infty du39 + u^2 = 13 integral0^infty du9 + u^2 e na integral original, temos:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral integral du9 + u^2 = 13 arctan(u3) + C . Sabemos que a integral de é . Aqui, , então .

Passo 6

Voltando aos limites de integração, quando 13 integral0^infty du9 + u^2 = 13 [ 13 arctan(u3) ]0^infty , , e quando , . Então, aplicando os limites:

Passo 7

Calculando os limites:
arctan(infty3) = pi2 e arctan(03) = 0
Então:
13 [ 13 ( pi2 - 0 ) ] = 13 cdot pi6 = pi18

Resposta

A integral vale .

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