Calcule as integrais a seguir:
(e)
;
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral
. Esse exercício está na matéria de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais impróprias e substituição. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição inteligente que simplifica a expressão da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função que estamos integrando:
. O denominador
pode ser reescrito como
, o que nos sugere fazer uma substituição envolvendo
.
Passo 3
Vamos definir uma nova variável para simplificar a integral. Seja
. Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
.
Passo 4
Substituindo
e
na integral original, temos:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral
. Sabemos que a integral de
é
. Aqui,
, então
.
Passo 6
Voltando aos limites de integração, quando
,
, e quando
,
. Então, aplicando os limites:
Passo 7
Calculando os limites:
Então:
Resposta
A integral vale
.