Calcule as integrais a seguir:
(e) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral . Esse exercício está na matéria de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais impróprias e substituição. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição inteligente que simplifica a expressão da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função que estamos integrando: . O denominador pode ser reescrito como , o que nos sugere fazer uma substituição envolvendo .

Passo 3

Vamos definir uma nova variável para simplificar a integral. Seja . Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir .

Passo 4

Substituindo e na integral original, temos:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral . Sabemos que a integral de é . Aqui, , então .

Passo 6

Voltando aos limites de integração, quando , , e quando , . Então, aplicando os limites:

Passo 7

Calculando os limites:
Então:

Resposta

A integral vale .

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Calcule , o fluxo de através de , em cada caso:
(a) parametrizada por ;
Calcule o fluxo do campo através da superfície na direção da normal exterior .
© é a parte do primeiro octante, limitada pelos três planos coordenados e pela esfera ;
Calcule , o fluxo de através de , em cada caso:
(d) é a parte da superfície situada acima do plano e orientada para cima;
Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de através de (orientada positivamente) em cada caso:
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